---

Step * 2 of Lemma r2-compass-compass


1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : {c:ℝ^2| a ≠ c} 
4. d : {d:ℝ^2| ↓∃p,q:ℝ^2. ((ab=ap ∧ (¬¬(∃w:ℝ^2. (c_w_d ∧ cw=cp)))) ∧ cd=cq ∧ (¬¬(∃w:ℝ^2. (a_w_b ∧ aw=aq))))} 
5. ∃u,v:{p:ℝ^2| ab=ap ∧ cd=cp} 
    ((↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) < d(c;d)) ∧ (d(a;q) < d(a;b))))
    ⇒ (r2-left(u;c;a) ∧ r2-left(v;a;c)))
⊢ ∃u:{u:ℝ^2| ab=au ∧ cd=cu} 
   (∃v:{ℝ^2| ((ab=av ∧ cd=cv)
             ∧ ((↓∃p,q:ℝ^2. ((ab=ap ∧ (↓∃w:ℝ^2. (c_w_d ∧ cw=cp ∧ w ≠ d))) ∧ cd=cq ∧ (↓∃w:ℝ^2. (a_w_b ∧ aw=aq ∧ w ≠ b))))
               ⇒ (r2-left(u;a;c) ∧ r2-left(v;c;a))))})
BY
{ (ExRepD
   THEN (D 0 With ⌜v⌝  THENA Auto)
   THEN UseWitness ⌜u⌝⋅
   THEN DSetVars
   THEN MemTypeCD
   THEN Try (Complete (Auto))
   THEN RepeatFor 2 (D 0)
   THEN Try (Complete (Auto))) }

1
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. a ≠ c
5. d : ℝ^2
6. ↓∃p,q:ℝ^2. ((ab=ap ∧ (¬¬(∃w:ℝ^2. (c_w_d ∧ cw=cp)))) ∧ cd=cq ∧ (¬¬(∃w:ℝ^2. (a_w_b ∧ aw=aq))))
7. u : ℝ^2
8. ab=au ∧ cd=cu
9. v : ℝ^2
10. ab=av ∧ cd=cv
11. (↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) < d(c;d)) ∧ (d(a;q) < d(a;b))))
⇒ (r2-left(u;c;a) ∧ r2-left(v;a;c))
12. ↓∃p,q:ℝ^2. ((ab=ap ∧ (↓∃w:ℝ^2. (c_w_d ∧ cw=cp ∧ w ≠ d))) ∧ cd=cq ∧ (↓∃w:ℝ^2. (a_w_b ∧ aw=aq ∧ w ≠ b)))
⊢ r2-left(v;a;c) ∧ r2-left(u;c;a)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}\^{}2
2.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
3.  c  :  \{c:\mBbbR{}\^{}2|  a  \mneq{}  c\} 
4.  d  :  \{d:\mBbbR{}\^{}2| 
                \mdownarrow{}\mexists{}p,q:\mBbbR{}\^{}2
                    ((ab=ap  \mwedge{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}w:\mBbbR{}\^{}2.  (c\_w\_d  \mwedge{}  cw=cp))))  \mwedge{}  cd=cq  \mwedge{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}w:\mBbbR{}\^{}2.  (a\_w\_b  \mwedge{}  aw=aq))))\} 
5.  \mexists{}u,v:\{p:\mBbbR{}\^{}2|  ab=ap  \mwedge{}  cd=cp\} 
        ((\mdownarrow{}\mexists{}p,q:\mBbbR{}\^{}2.  (((d(a;b)  =  d(a;p))  \mwedge{}  (d(c;d)  =  d(c;q)))  \mwedge{}  (d(c;p)  <  d(c;d))  \mwedge{}  (d(a;q)  <  d(a;b))))
        {}\mRightarrow{}  (r2-left(u;c;a)  \mwedge{}  r2-left(v;a;c)))
\mvdash{}  \mexists{}u:\{u:\mBbbR{}\^{}2|  ab=au  \mwedge{}  cd=cu\} 
      (\mexists{}v:\{\mBbbR{}\^{}2|  ((ab=av  \mwedge{}  cd=cv)
                          \mwedge{}  ((\mdownarrow{}\mexists{}p,q:\mBbbR{}\^{}2
                                      ((ab=ap  \mwedge{}  (\mdownarrow{}\mexists{}w:\mBbbR{}\^{}2.  (c\_w\_d  \mwedge{}  cw=cp  \mwedge{}  w  \mneq{}  d)))
                                      \mwedge{}  cd=cq
                                      \mwedge{}  (\mdownarrow{}\mexists{}w:\mBbbR{}\^{}2.  (a\_w\_b  \mwedge{}  aw=aq  \mwedge{}  w  \mneq{}  b))))
                              {}\mRightarrow{}  (r2-left(u;a;c)  \mwedge{}  r2-left(v;c;a))))\})


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  DSetVars
  THEN  MemTypeCD
  THEN  Try  (Complete  (Auto))
  THEN  RepeatFor  2  (D  0)
  THEN  Try  (Complete  (Auto)))

---

Home Index