---

Step * 2 of Lemma rabs-Riemann-sum


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. k : ℕ+
6. icompact([a, b])
7. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
8. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List@i
9. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) = v ∈ ({x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List)@i
⊢ |Σ{(f v[i]) * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2}| ≤ Σ{|f v[i]| * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2}
BY
{ (RWW "rabs-rsum rabs-rmul" 0 THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. k : ℕ+
6. icompact([a, b])
7. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
8. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List@i
9. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) = v ∈ ({x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List)@i
⊢ Σ{|f v[i]| * |v[i + 1] - v[i]| | 0≤i≤||v|| - 2} ≤ Σ{|f v[i]| * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  icompact([a,  b])
7.  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List
8.  v  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List@i
9.  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  =  v@i
\mvdash{}  |\mSigma{}\{(f  v[i])  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v||  -  2\}|  \mleq{}  \mSigma{}\{|f  v[i]|  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v|| 
-  2\}


By

---

Latex:
(RWW  "rabs-rsum  rabs-rmul"  0  THEN  Auto)

---

Home Index