---

Step * 2 1 of Lemma rabs-nonzero-on-compact


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. k : ℕ+
6. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((r1/r(k)) ≤ |f[x]|))
8. f[a] ≤ -((r1/r(k)))
9. x : ℝ
10. x ∈ [a, b]
11. (r1/r(k)) ≤ f[x]
⊢ f[x] ≤ (r(-1)/r(k))
BY
{ ((Assert (-((r1/r(k))) < r0) ∧ (r0 < (r1/r(k))) BY
          (Auto THEN nRMul ⌜r(k)⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert (r(-1)/r(k)) < (r1/r(k)) BY
               Auto)
   THEN (InstLemma `intermediate-value-theorem` [⌜[a, b]⌝;⌜f⌝;⌜a⌝;⌜x⌝;⌜r0⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Try (Unfold `r-ap` 0)
   THEN All (Unfold `so_apply`)
   THEN Auto
   THEN Try ((MemTypeCD THEN Auto)))⋅ }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. k : ℕ+
6. f x continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((r1/r(k)) ≤ |f x|))
8. (f a) ≤ -((r1/r(k)))
9. x : ℝ
10. x ∈ [a, b]
11. (r1/r(k)) ≤ (f x)
12. -((r1/r(k))) < r0
13. r0 < (r1/r(k))
14. (r(-1)/r(k)) < (r1/r(k))
15. ∀e:{e:ℝ| r0 < e} . ∃x:{x@0:ℝ| x@0 ∈ [rmin(a;x), rmax(a;x)]} . (|f(x) - r0| < e)
⊢ (f x) ≤ (r(-1)/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(k))  \mleq{}  |f[x]|))
8.  f[a]  \mleq{}  -((r1/r(k)))
9.  x  :  \mBbbR{}
10.  x  \mmember{}  [a,  b]
11.  (r1/r(k))  \mleq{}  f[x]
\mvdash{}  f[x]  \mleq{}  (r(-1)/r(k))


By

---

Latex:
((Assert  (-((r1/r(k)))  <  r0)  \mwedge{}  (r0  <  (r1/r(k)))  BY
                (Auto  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(k)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (r(-1)/r(k))  <  (r1/r(k))  BY
                          Auto)
  THEN  (InstLemma  `intermediate-value-theorem`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  (Unfold  `r-ap`  0)
  THEN  All  (Unfold  `so\_apply`)
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((MemTypeCD  THEN  Auto)))\mcdot{}

---

Home Index