---

Step * 1 1 of Lemma range_sup-const


1. I : Interval
2. r : ℝ
3. r ∈ I
4. i-closed(I) ∧ i-finite(I)
5. ∀f:{f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} . ∀[c:ℝ]. sup{f[x] | x ∈ I} ≤ c supposing ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. c : ℝ
7. sup{c | x ∈ I} ≤ c
8. c(x∈I) ≤ sup{c | x ∈ I}
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ c(x∈I)) ∧ ((sup{c | x ∈ I} - e) < x))))
⊢ c ≤ sup{c | x ∈ I}
BY
{ ((D -2 With ⌜c⌝  THENM BHyp -1) THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. r : ℝ
3. r ∈ I
4. i-closed(I)
5. i-finite(I)
6. ∀f:{f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} . ∀[c:ℝ]. sup{f[x] | x ∈ I} ≤ c supposing ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] ≤ c))
7. c : ℝ
8. sup{c | x ∈ I} ≤ c
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ c(x∈I)) ∧ ((sup{c | x ∈ I} - e) < x))))
10. (c ∈ c(x∈I)) ⇒ (c ≤ sup{c | x ∈ I})
⊢ c ∈ c(x∈I)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  r  \mmember{}  I
4.  i-closed(I)  \mwedge{}  i-finite(I)
5.  \mforall{}f:\{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;I)\}  .  \mforall{}[c:\mBbbR{}].  sup\{f[x]  |  x  \mmember{}  I\}  \mleq{}  c  supposing  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  sup\{c  |  x  \mmember{}  I\}  \mleq{}  c
8.  c(x\mmember{}I)  \mleq{}  sup\{c  |  x  \mmember{}  I\}
9.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  c(x\mmember{}I))  \mwedge{}  ((sup\{c  |  x  \mmember{}  I\}  -  e)  <  x))))
\mvdash{}  c  \mleq{}  sup\{c  |  x  \mmember{}  I\}


By

---

Latex:
((D  -2  With  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}    THENM  BHyp  -1)  THEN  Auto)

---

Home Index