---

Step * 3 of Lemma rat_term_polynomial


1. left : rat_term()
2. right : rat_term()
3. v4 : iPolynomial()
4. v5 : iPolynomial()
5. rat_term_to_ipolys(left) = <v4, v5> ∈ (iPolynomial() × iPolynomial())
6. v2 : iPolynomial()
7. v3 : iPolynomial()
8. rat_term_to_ipolys(right) = <v2, v3> ∈ (iPolynomial() × iPolynomial())
9. f : ℤ ⟶ ℝ
10. P1 : ℙ
11. v8 : ℝ supposing P1
12. rat_term_to_real(f;right) = <P1, v8> ∈ (P:ℙ × ℝ supposing P)
13. P : ℙ
14. v7 : ⋂:P. ℝ
15. rat_term_to_real(f;left) = <P, v7> ∈ (P:ℙ × ℝ supposing P)
16. P
17. P1
18. real_term_value(f;ipolynomial-term(v3)) ≠ r0
19. v8 = (real_term_value(f;ipolynomial-term(v2))/real_term_value(f;ipolynomial-term(v3)))
20. real_term_value(f;ipolynomial-term(v5)) ≠ r0
21. v7 = (real_term_value(f;ipolynomial-term(v4))/real_term_value(f;ipolynomial-term(v5)))
22. ℝ
⊢ real_term_value(f;ipolynomial-term(mul_ipoly(v5;v3))) ≠ r0
∧ ((v7 + v8)
  = (real_term_value(f;ipolynomial-term(add_ipoly(mul_ipoly(v4;v3);mul_ipoly(v2;v5))))/real_term_value(f;...)))
BY
{ ((RWW "mul_poly-sq" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "add_ipoly-sq" 0 THENA Auto)
   THEN ((InstLemma `mul-ipoly-req` [⌜v5⌝;⌜v3⌝]⋅ THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜f⌝  THENA Auto))
   THEN ((InstLemma `mul-ipoly-req` [⌜v2⌝;⌜v5⌝]⋅ THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜f⌝  THENA Auto))
   THEN (InstLemma `mul-ipoly-req` [⌜v4⌝;⌜v3⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜f⌝  THENA Auto)
   THEN (InstLemma `add-ipoly-req` [⌜mul-ipoly(v4;v3)⌝;⌜mul-ipoly(v2;v5)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜f⌝  THENA Auto)
   THEN All (Unfold `real_term_value`)
   THEN All Reduce
   THEN All (Fold `real_term_value`)
   THEN RepeatFor 4 (MoveToConcl (-1))
   THEN Thin (-1)
   THEN RepeatFor 4 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclTerms Auto [⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(v3))⌝;⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(v5))⌝;
   ⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(v2))⌝;⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(v4))⌝]⋅
   THEN GenConclTerms Auto [⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(mul-ipoly(v4;v3);mul-ipoly(v2;v5))))⌝]⋅
   THEN GenConclTerms Auto [⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v5;v3)))⌝;
   ⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v2;v5)))⌝;⌜real_term_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v4;v3)))⌝]⋅) }

1
1. left : rat_term()
2. right : rat_term()
3. v4 : iPolynomial()
4. v5 : iPolynomial()
5. rat_term_to_ipolys(left) = <v4, v5> ∈ (iPolynomial() × iPolynomial())
6. v2 : iPolynomial()
7. v3 : iPolynomial()
8. rat_term_to_ipolys(right) = <v2, v3> ∈ (iPolynomial() × iPolynomial())
9. f : ℤ ⟶ ℝ
10. P1 : ℙ
11. v8 : ℝ supposing P1
12. rat_term_to_real(f;right) = <P1, v8> ∈ (P:ℙ × ℝ supposing P)
13. P : ℙ
14. v7 : ⋂:P. ℝ
15. rat_term_to_real(f;left) = <P, v7> ∈ (P:ℙ × ℝ supposing P)
16. P
17. P1
18. v : ℝ
19. real_term_value(f;ipolynomial-term(v3)) = v ∈ ℝ
20. v9 : ℝ
21. real_term_value(f;ipolynomial-term(v5)) = v9 ∈ ℝ
22. v10 : ℝ
23. real_term_value(f;ipolynomial-term(v2)) = v10 ∈ ℝ
24. v11 : ℝ
25. real_term_value(f;ipolynomial-term(v4)) = v11 ∈ ℝ
26. v12 : ℝ
27. real_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(mul-ipoly(v4;v3);mul-ipoly(v2;v5)))) = v12 ∈ ℝ
28. v13 : ℝ
29. real_term_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v5;v3))) = v13 ∈ ℝ
30. v14 : ℝ
31. real_term_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v2;v5))) = v14 ∈ ℝ
32. v15 : ℝ
33. real_term_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v4;v3))) = v15 ∈ ℝ
⊢ v ≠ r0
⇒ (v8 = (v10/v))
⇒ v9 ≠ r0
⇒ (v7 = (v11/v9))
⇒ (v13 = (v9 * v))
⇒ (v14 = (v10 * v9))
⇒ (v15 = (v11 * v))
⇒ (v12 = (v15 + v14))
⇒ (v13 ≠ r0 ∧ ((v7 + v8) = (v12/v13)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  left  :  rat\_term()
2.  right  :  rat\_term()
3.  v4  :  iPolynomial()
4.  v5  :  iPolynomial()
5.  rat\_term\_to\_ipolys(left)  =  <v4,  v5>
6.  v2  :  iPolynomial()
7.  v3  :  iPolynomial()
8.  rat\_term\_to\_ipolys(right)  =  <v2,  v3>
9.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
10.  P1  :  \mBbbP{}
11.  v8  :  \mBbbR{}  supposing  P1
12.  rat\_term\_to\_real(f;right)  =  <P1,  v8>
13.  P  :  \mBbbP{}
14.  v7  :  \mcap{}:P.  \mBbbR{}
15.  rat\_term\_to\_real(f;left)  =  <P,  v7>
16.  P
17.  P1
18.  real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v3))  \mneq{}  r0
19.  v8  =  (real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v2))/real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v3)))
20.  real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v5))  \mneq{}  r0
21.  v7  =  (real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v4))/real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v5)))
22.  \mBbbR{}
\mvdash{}  real\_term\_value(f;ipolynomial-term(mul\_ipoly(v5;v3)))  \mneq{}  r0
\mwedge{}  ((v7  +  v8)
    =  (real\_term\_value(f;ipolynomial-term(add\_ipoly(mul\_ipoly(v4;v3);mul\_ipoly(v2;v5))))/...))


By

---

Latex:
((RWW  "mul\_poly-sq"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "add\_ipoly-sq"  0  THENA  Auto)
  THEN  ((InstLemma  `mul-ipoly-req`  [\mkleeneopen{}v5\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v3\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}    THENA  Auto))
  THEN  ((InstLemma  `mul-ipoly-req`  [\mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v5\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}    THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma  `mul-ipoly-req`  [\mkleeneopen{}v4\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v3\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `add-ipoly-req`  [\mkleeneopen{}mul-ipoly(v4;v3)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}mul-ipoly(v2;v5)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  All  (Unfold  `real\_term\_value`)
  THEN  All  Reduce
  THEN  All  (Fold  `real\_term\_value`)
  THEN  RepeatFor  4  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  RepeatFor  4  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v3))\mkleeneclose{};
  \mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v5))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v2))\mkleeneclose{};
  \mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(v4))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  GenConclTerms  Auto  [
  \mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(mul-ipoly(v4;v3);mul-ipoly(v2;v5))))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v5;v3)))\mkleeneclose{};
  \mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v2;v5)))\mkleeneclose{};
  \mkleeneopen{}real\_term\_value(f;ipolynomial-term(mul-ipoly(v4;v3)))\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index