---

Step * 2 3 1 1 of Lemma rational-IVT-1


1. a : ℤ × ℕ+
2. b : ℤ × ℕ+
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [ratreal(a), ratreal(b)]}  ⟶ ℝ
5. (ratreal(a) ≤ ratreal(b))
∧ (ratreal(f[a]) ≤ r0)
∧ (r0 ≤ ratreal(f[b]))
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [ratreal(a), ratreal(b)]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [ratreal(a), ratreal(b)]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. s : ℕ ⟶ (ℤ × ℕ+ × ℤ × ℕ+)
7. ∀i:ℕ
     ((ratreal(fst((s i))) ∈ [ratreal(a), ratreal(b)])
     ∧ (ratreal(snd((s i))) ∈ [ratreal(a), ratreal(b)])
     ∧ (ratreal(fst((s i))) ≤ ratreal(fst((s (i + 1)))))
     ∧ (ratreal(fst((s i))) ≤ ratreal(snd((s i))))
     ∧ (ratreal(snd((s (i + 1)))) ≤ ratreal(snd((s i))))
     ∧ (g[ratreal(fst((s i)))] ≤ r0)
     ∧ (r0 ≤ g[ratreal(snd((s i)))])
     ∧ ((ratreal(snd((s i))) - ratreal(fst((s i)))) = (rinv(r(2))^i * (ratreal(b) - ratreal(a)))))
8. y : ℝ
9. lim n→∞.ratreal(fst((s n))) = y
10. lim n→∞.ratreal(snd((s n))) = y
11. y ∈ [ratreal(a), ratreal(b)]
12. lim n→∞.g(ratreal(fst((s n)))) = g(y)
13. lim n→∞.g(ratreal(snd((s n)))) = g(y)
⊢ g[y] = r0
BY
{ ((InstLemma `rleq-limit-constant` [⌜r0⌝;⌜λ2n.g(ratreal(fst((s n))))⌝;⌜g(y)⌝]⋅
    THENA (Auto THEN All (RepUR ``r-ap so_apply``) THEN Auto)
    )
   THEN InstLemma `constant-rleq-limit` [⌜r0⌝;⌜λ2n.g(ratreal(snd((s n))))⌝;⌜g(y)⌝]⋅
   THEN Auto
   THEN All (RepUR ``r-ap so_apply``)
   THEN Auto) }

1
1. a : ℤ × ℕ+
2. b : ℤ × ℕ+
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [ratreal(a), ratreal(b)]}  ⟶ ℝ
5. ratreal(a) ≤ ratreal(b)
6. ratreal(f a) ≤ r0
7. r0 ≤ ratreal(f b)
8. ∀x,y:{x:ℝ| (ratreal(a) ≤ x) ∧ (x ≤ ratreal(b))} .  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y)))
9. ∀r:ℤ × ℕ+. (((ratreal(a) ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ ratreal(b))) ⇒ ((g ratreal(r)) = ratreal(f r)))
10. s : ℕ ⟶ (ℤ × ℕ+ × ℤ × ℕ+)
11. ∀i:ℕ
      (((ratreal(a) ≤ ratreal(fst((s i)))) ∧ (ratreal(fst((s i))) ≤ ratreal(b)))
      ∧ ((ratreal(a) ≤ ratreal(snd((s i)))) ∧ (ratreal(snd((s i))) ≤ ratreal(b)))
      ∧ (ratreal(fst((s i))) ≤ ratreal(fst((s (i + 1)))))
      ∧ (ratreal(fst((s i))) ≤ ratreal(snd((s i))))
      ∧ (ratreal(snd((s (i + 1)))) ≤ ratreal(snd((s i))))
      ∧ ((g ratreal(fst((s i)))) ≤ r0)
      ∧ (r0 ≤ (g ratreal(snd((s i)))))
      ∧ ((ratreal(snd((s i))) - ratreal(fst((s i)))) = (rinv(r(2))^i * (ratreal(b) - ratreal(a)))))
12. y : ℝ
13. lim n→∞.ratreal(fst((s n))) = y
14. lim n→∞.ratreal(snd((s n))) = y
15. y ∈ [ratreal(a), ratreal(b)]
16. lim n→∞.g ratreal(fst((s n))) = g y
17. lim n→∞.g ratreal(snd((s n))) = g y
18. (g y) ≤ r0
19. r0 ≤ (g y)
⊢ (g y) = r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  b  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [ratreal(a),  ratreal(b)]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  (ratreal(a)  \mleq{}  ratreal(b))
\mwedge{}  (ratreal(f[a])  \mleq{}  r0)
\mwedge{}  (r0  \mleq{}  ratreal(f[b]))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [ratreal(a),  ratreal(b)]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [ratreal(a),  ratreal(b)])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
6.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}
          ((ratreal(fst((s  i)))  \mmember{}  [ratreal(a),  ratreal(b)])
          \mwedge{}  (ratreal(snd((s  i)))  \mmember{}  [ratreal(a),  ratreal(b)])
          \mwedge{}  (ratreal(fst((s  i)))  \mleq{}  ratreal(fst((s  (i  +  1)))))
          \mwedge{}  (ratreal(fst((s  i)))  \mleq{}  ratreal(snd((s  i))))
          \mwedge{}  (ratreal(snd((s  (i  +  1))))  \mleq{}  ratreal(snd((s  i))))
          \mwedge{}  (g[ratreal(fst((s  i)))]  \mleq{}  r0)
          \mwedge{}  (r0  \mleq{}  g[ratreal(snd((s  i)))])
          \mwedge{}  ((ratreal(snd((s  i)))  -  ratreal(fst((s  i))))  =  (rinv(r(2))\^{}i  *  (ratreal(b)  -  ratreal(a)))))
8.  y  :  \mBbbR{}
9.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.ratreal(fst((s  n)))  =  y
10.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.ratreal(snd((s  n)))  =  y
11.  y  \mmember{}  [ratreal(a),  ratreal(b)]
12.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g(ratreal(fst((s  n))))  =  g(y)
13.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g(ratreal(snd((s  n))))  =  g(y)
\mvdash{}  g[y]  =  r0


By

---

Latex:
((InstLemma  `rleq-limit-constant`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.g(ratreal(fst((s  n))))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g(y)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  All  (RepUR  ``r-ap  so\_apply``)  THEN  Auto)
    )
  THEN  InstLemma  `constant-rleq-limit`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.g(ratreal(snd((s  n))))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g(y)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  All  (RepUR  ``r-ap  so\_apply``)
  THEN  Auto)

---

Home Index