---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
11. g[a] ≠ r0
12. g[b] ≠ r0
13. d1 : {d:ℝ| r0 < d} 
14. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|a - y| ≤ d1) ⇒ ((r0 < g[a] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[a] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
15. d : {d:ℝ| r0 < d} 
16. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|b - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[b] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[b] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
17. k2 : ℕ+
18. (r1/r(k2)) < d
19. k1 : ℕ+
20. (r1/r(k1)) < d1
21. k : ℕ+
22. (r1/r(k)) < (b - a)
23. M : {2 * k...}
24. imax(imax(k1;k2);2 * k) = M ∈ {2 * k...}
25. v : ℝ
26. above a within 1/M = v ∈ ℝ
27. v1 : ℝ
28. (below b within 1/M) = v1 ∈ ℝ
29. (r(2)/r(M)) ≤ (r1/r(k))
⊢ ((v - (r1/r(M))) ≤ a) ⇒ (b ≤ (v1 + (r1/r(M)))) ⇒ (v ≤ v1)
BY
{ ((Assert (r(2)/r(M)) ≤ (b - a) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1) THEN All Thin THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. k : ℕ+
4. M : {2 * k...}
5. v : ℝ
6. v1 : ℝ
7. (r(2)/r(M)) ≤ (b - a)
8. (v - (r1/r(M))) ≤ a
9. b ≤ (v1 + (r1/r(M)))
⊢ v ≤ v1

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  a  <  b
6.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
8.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
11.  g[a]  \mneq{}  r0
12.  g[b]  \mneq{}  r0
13.  d1  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
14.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
            ((|a  -  y|  \mleq{}  d1)  {}\mRightarrow{}  ((r0  <  g[a]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  g[y])  \mwedge{}  (g[a]  <  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  g[y]  <  r0)))
15.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
16.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  ((|b  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r0  <  g[b]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  g[y])  \mwedge{}  (g[b]  <  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  g[y]  <  r0))\000C)
17.  k2  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  (r1/r(k2))  <  d
19.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
20.  (r1/r(k1))  <  d1
21.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
22.  (r1/r(k))  <  (b  -  a)
23.  M  :  \{2  *  k...\}
24.  imax(imax(k1;k2);2  *  k)  =  M
25.  v  :  \mBbbR{}
26.  above  a  within  1/M  =  v
27.  v1  :  \mBbbR{}
28.  (below  b  within  1/M)  =  v1
29.  (r(2)/r(M))  \mleq{}  (r1/r(k))
\mvdash{}  ((v  -  (r1/r(M)))  \mleq{}  a)  {}\mRightarrow{}  (b  \mleq{}  (v1  +  (r1/r(M))))  {}\mRightarrow{}  (v  \mleq{}  v1)


By

---

Latex:
((Assert  (r(2)/r(M))  \mleq{}  (b  -  a)  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1)  THEN  All  Thin  THEN  Auto)

---

Home Index