---

Step * 1 of Lemma rational-approx-implies-req


1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
⊢ k-regular-seq(a) ∧ (accelerate(k;a) = x)
BY
{ (Assert k-regular-seq(a) BY
         (D 0
          THEN Auto
          THEN (BLemma `rleq-int` THENA Auto)
          THEN (RWW "rabs-int< rmul-int< radd-int< rsub-int<" 0 THENA Auto)
          THEN (Assert r0 < |r(2 * n * m)| BY
                      (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
          THEN (Assert r0 < (r1/|r(2 * n * m)|) BY
                      (BLemma `rdiv-is-positive` THEN Auto))
          THEN Using [`y',⌜(|r1|/|r(2 * n * m)|)⌝] (BLemma `rmul_preserves_rleq`)⋅
          THEN Auto
          THEN (RWW "rabs-rdiv< rabs-rmul<" 0⋅ THENA Auto))) }

1
1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
6. n : ℕ+
7. m : ℕ+
8. r0 < |r(2 * n * m)|
9. r0 < (r1/|r(2 * n * m)|)
⊢ |((r(m) * r(a n)) - r(n) * r(a m)) * (r1/r(2 * n * m))| ≤ (((r(2) * r(k)) * (r(n) + r(m))) * |(r1/r(2 * n * m))|)

2
1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
6. k-regular-seq(a)
⊢ k-regular-seq(a) ∧ (accelerate(k;a) = x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|x  -  (r(a  n)/r(2  *  n))|  \mleq{}  (r(k)/r(n)))
5.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(r(a  n)/r(2  *  n))  -  (r(a  m)/r(2  *  m))|  \mleq{}  ((r(k)/r(n))  +  (r(k)/r(m))))
\mvdash{}  k-regular-seq(a)  \mwedge{}  (accelerate(k;a)  =  x)


By

---

Latex:
(Assert  k-regular-seq(a)  BY
              (D  0
                THEN  Auto
                THEN  (BLemma  `rleq-int`  THENA  Auto)
                THEN  (RWW  "rabs-int<  rmul-int<  radd-int<  rsub-int<"  0  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  r0  <  |r(2  *  n  *  m)|  BY
                                        (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
                THEN  (Assert  r0  <  (r1/|r(2  *  n  *  m)|)  BY
                                        (BLemma  `rdiv-is-positive`  THEN  Auto))
                THEN  Using  [`y',\mkleeneopen{}(|r1|/|r(2  *  n  *  m)|)\mkleeneclose{}]  (BLemma  `rmul\_preserves\_rleq`)\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  (RWW  "rabs-rdiv<  rabs-rmul<"  0\mcdot{}  THENA  Auto)))

---

Home Index