---

Step * 1 1 of Lemma rational-approx-implies-req


1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
6. n : ℕ+
7. m : ℕ+
8. r0 < |r(2 * n * m)|
9. r0 < (r1/|r(2 * n * m)|)
⊢ |((r(m) * r(a n)) - r(n) * r(a m)) * (r1/r(2 * n * m))| ≤ (((r(2) * r(k)) * (r(n) + r(m))) * |(r1/r(2 * n * m))|)
BY
{ ((Assert (((r(2) * r(k)) * (r(n) + r(m))) * |(r1/r(2 * n * m))|) = ((r(k)/r(m)) + (r(k)/r(n))) BY
          ((RWO "rabs-of-nonneg" 0 THENA Auto)
           THEN (RWW "rmul-distrib.1 rmul-distrib.2" 0 THENA Auto)
           THEN (BLemma `radd_functionality`  THENA Auto)
           THEN nRNorm 0
           THEN Auto))
THENM (RWO "-1" 0 THENA Auto)
) }

1
1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
6. n : ℕ+
7. m : ℕ+
8. r0 < |r(2 * n * m)|
9. r0 < (r1/|r(2 * n * m)|)
10. (((r(2) * r(k)) * (r(n) + r(m))) * |(r1/r(2 * n * m))|) = ((r(k)/r(m)) + (r(k)/r(n)))
⊢ |((r(m) * r(a n)) - r(n) * r(a m)) * (r1/r(2 * n * m))| ≤ ((r(k)/r(m)) + (r(k)/r(n)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|x  -  (r(a  n)/r(2  *  n))|  \mleq{}  (r(k)/r(n)))
5.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(r(a  n)/r(2  *  n))  -  (r(a  m)/r(2  *  m))|  \mleq{}  ((r(k)/r(n))  +  (r(k)/r(m))))
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  r0  <  |r(2  *  n  *  m)|
9.  r0  <  (r1/|r(2  *  n  *  m)|)
\mvdash{}  |((r(m)  *  r(a  n))  -  r(n)  *  r(a  m))  *  (r1/r(2  *  n  *  m))|  \mleq{}  (((r(2)  *  r(k))  *  (r(n)  +  r(m)))
*  |(r1/r(2  *  n  *  m))|)


By

---

Latex:
((Assert  (((r(2)  *  r(k))  *  (r(n)  +  r(m)))  *  |(r1/r(2  *  n  *  m))|)  =  ((r(k)/r(m))  +  (r(k)/r(n)))  BY
                ((RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (RWW  "rmul-distrib.1  rmul-distrib.2"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (BLemma  `radd\_functionality`    THENA  Auto)
                  THEN  nRNorm  0
                  THEN  Auto))
THENM  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
)

---

Home Index