---

Step * 2 1 2 1 1 of Lemma real-binomial


1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀[a,b:ℝ].  (a + b^n - 1 = Σ{r(choose(n - 1;i)) * a^n - 1 - i * b^i | 0≤i≤n - 1})
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. Σ{(r(choose(n - 1;i)) * a^n - 1 - i * b^i) * a | 0≤i≤n - 1} = Σ{r(choose(n - 1;i)) * a^n - i * b^i | 0≤i≤n - 1}
7. ∀[n,m:ℤ]. ∀[x:Top].  (Σ{x[i] | n≤i≤m} ~ Σ{x[i + (-1)] | n - -1≤i≤m - -1})
⊢ Σ{(r(choose(n - 1;i)) * a^n - 1 - i * b^i) * b | 0≤i≤n - 1} = Σ{r(choose(n - 1;i - 1)) * a^n - i * b^i | 1≤i≤n}
BY
{ ((RW (AddrC [1] (HypC (-1))) 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (RW IntNormC 0 THENA Auto)
   THEN (BLemma `rsum_functionality` THEN Auto)
   THEN D 0
   THEN Auto
   THEN GenConclTerms Auto [⌜r(choose((-1) + n;(-1) + i))⌝;⌜a^(-i) + n⌝]⋅) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  n
3.  \mforall{}[a,b:\mBbbR{}].    (a  +  b\^{}n  -  1  =  \mSigma{}\{r(choose(n  -  1;i))  *  a\^{}n  -  1  -  i  *  b\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
4.  a  :  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbR{}
6.  \mSigma{}\{(r(choose(n  -  1;i))  *  a\^{}n  -  1  -  i  *  b\^{}i)  *  a  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
=  \mSigma{}\{r(choose(n  -  1;i))  *  a\^{}n  -  i  *  b\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
7.  \mforall{}[n,m:\mBbbZ{}].  \mforall{}[x:Top].    (\mSigma{}\{x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \msim{}  \mSigma{}\{x[i  +  (-1)]  |  n  -  -1\mleq{}i\mleq{}m  -  -1\})
\mvdash{}  \mSigma{}\{(r(choose(n  -  1;i))  *  a\^{}n  -  1  -  i  *  b\^{}i)  *  b  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
=  \mSigma{}\{r(choose(n  -  1;i  -  1))  *  a\^{}n  -  i  *  b\^{}i  |  1\mleq{}i\mleq{}n\}


By

---

Latex:
((RW  (AddrC  [1]  (HypC  (-1)))  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (RW  IntNormC  0  THENA  Auto)
  THEN  (BLemma  `rsum\_functionality`  THEN  Auto)
  THEN  D  0
  THEN  Auto
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}r(choose((-1)  +  n;(-1)  +  i))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\^{}(-i)  +  n\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index