---

Step * of Lemma real-continuity3

∀a,b:ℝ.
  ∀f:[a, b] ⟶ℝ
    (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
    ⇐⇒ ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))) 
  supposing a ≤ b
BY
{ (InstLemma  `real-continuity2` []
   THEN RepeatFor 4 (ParallelLast')
   THEN D 0
   THEN Try (Trivial)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN InstLemma `continuous-rneq` [⌜[a, b]⌝;⌜λ2x.f x⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y))
⇒ (∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k)))))
6. ∀k:ℕ+. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))@i
⊢ f x continuous for x ∈ [a, b]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a,b:\mBbbR{}.
    \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
        (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    (f  x  \mneq{}  f  y  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  y)
        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
                    \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
                      \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))) 
    supposing  a  \mleq{}  b


By

---

Latex:
(InstLemma    `real-continuity2`  []
  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast')
  THEN  D  0
  THEN  Try  (Trivial)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  InstLemma  `continuous-rneq`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.f  x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index