---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 of Lemma real-subset-connected


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. SqStable(X x)
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  ((X y) ⇒ (X x))
4. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
5. ∀Q:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹. ∃Q':ℝ ⟶ 𝔹. ∀x:{x:ℝ| X x} . Q' x = Q x
6. A : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
7. B : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
9. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
10. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
11. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
12. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ⇒ A[x])
13. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(b x)) ⇒ B[x])
14. x2 : {x:ℝ| X x} 
15. ↑(a x2)
16. x1 : {x:ℝ| X x} 
17. ↑(b x1)
18. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
19. aa : ℝ ⟶ 𝔹
20. ∀x:{x:ℝ| X x} . aa x = a x
21. bb : ℝ ⟶ 𝔹
22. ∀x:{x:ℝ| X x} . bb x = b x
23. x : ℝ
24. ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = x ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))
25. z : ℝ
26. accelerate(3;x) = z ∈ ℝ
27. ∀k:ℕ+. ∃y:ℝ. ((y = z ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X y))
28. G : k:ℕ+ ⟶ ℝ
29. ∀k:ℕ+. (((G k) = z ∈ (ℕ+k ⟶ ℤ)) ∧ (X (G k)))
30. n : ℕ+
31. aa z = aa (G n)
32. bb z = bb (G n)
33. (G n) = z ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)
34. X (G n)
35. ↑(a (G n))
⊢ aa z = tt
BY
{ (HypSubst' (-5) 0 THEN RWO "-16" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  SqStable(X  x)
3.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    ((X  y)  {}\mRightarrow{}  (X  x))
4.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
5.  \mforall{}Q:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}Q':\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  Q'  x  =  Q  x
6.  A  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  B  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  x  =  y\}  .    (A[y]  {}\mRightarrow{}  A[x])
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  x  =  y\}  .    (B[y]  {}\mRightarrow{}  B[x])
10.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
11.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  {}\mRightarrow{}  A[x])
13.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(b  x))  {}\mRightarrow{}  B[x])
14.  x2  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
15.  \muparrow{}(a  x2)
16.  x1  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
17.  \muparrow{}(b  x1)
18.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
19.  aa  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
20.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  aa  x  =  a  x
21.  bb  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
22.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  bb  x  =  b  x
23.  x  :  \mBbbR{}
24.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((y  =  x)  \mwedge{}  (X  y))
25.  z  :  \mBbbR{}
26.  accelerate(3;x)  =  z
27.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((y  =  z)  \mwedge{}  (X  y))
28.  G  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
29.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((G  k)  =  z)  \mwedge{}  (X  (G  k)))
30.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
31.  aa  z  =  aa  (G  n)
32.  bb  z  =  bb  (G  n)
33.  (G  n)  =  z
34.  X  (G  n)
35.  \muparrow{}(a  (G  n))
\mvdash{}  aa  z  =  tt


By

---

Latex:
(HypSubst'  (-5)  0  THEN  RWO  "-16"  0  THEN  Auto)

---

Home Index