---

Step * 1 of Lemma reg-seq-mul_functionality_wrt_bdd-diff


1. x1 : ℝ
2. x2 : ℕ+ ⟶ ℤ
3. y1 : ℕ+ ⟶ ℤ
4. y2 : ℝ
5. B1 : ℕ
6. ∀n:ℕ+. (|(y1 n) - y2 n| ≤ B1)
7. B : ℕ
8. ∀n:ℕ+. (|(x1 n) - x2 n| ≤ B)
9. n : ℕ+
10. r1 : {r:ℤ| |r| < |2 * n|} 
11. ((x1 n) * (y1 n) rem 2 * n) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * n|} 
12. r2 : {r:ℤ| |r| < |2 * n|} 
13. ((x2 n) * (y2 n) rem 2 * n) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * n|} 
⊢ |((x1 n) * (y1 n)) - r1 - ((x2 n) * (y2 n)) - r2| ≤ (|2 * n|
  * (2 + (B1 * canonical-bound(x1)) + (B * canonical-bound(y2))))
BY
{ ((Assert ⌜|((x1 n) * (y1 n)) - r1 - ((x2 n) * (y2 n)) - r2| ≤ (|((x1 n) * (y1 n)) - (x2 n) * (y2 n)| + |-r1| + |r2|)⌝⋅
    THENA (RepeatFor 2 ((RWO "int-triangle-inequality<" 0 THENA Auto)) THEN RW IntNormC 0 THEN Auto)
    )
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN (RepeatFor 2 (Thin (-1)) THEN Thin (-2))⋅)⋅ }

1
1. x1 : ℝ
2. x2 : ℕ+ ⟶ ℤ
3. y1 : ℕ+ ⟶ ℤ
4. y2 : ℝ
5. B1 : ℕ
6. ∀n:ℕ+. (|(y1 n) - y2 n| ≤ B1)
7. B : ℕ
8. ∀n:ℕ+. (|(x1 n) - x2 n| ≤ B)
9. n : ℕ+
10. r1 : {r:ℤ| |r| < |2 * n|} 
11. r2 : {r:ℤ| |r| < |2 * n|} 
⊢ (|((x1 n) * (y1 n)) - (x2 n) * (y2 n)| + |-r1| + |r2|) ≤ (|2 * n|
  * (2 + (B1 * canonical-bound(x1)) + (B * canonical-bound(y2))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x1  :  \mBbbR{}
2.  x2  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  y1  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  y2  :  \mBbbR{}
5.  B1  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|(y1  n)  -  y2  n|  \mleq{}  B1)
7.  B  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|(x1  n)  -  x2  n|  \mleq{}  B)
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  r1  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |2  *  n|\} 
11.  ((x1  n)  *  (y1  n)  rem  2  *  n)  =  r1
12.  r2  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |2  *  n|\} 
13.  ((x2  n)  *  (y2  n)  rem  2  *  n)  =  r2
\mvdash{}  |((x1  n)  *  (y1  n))  -  r1  -  ((x2  n)  *  (y2  n))  -  r2|  \mleq{}  (|2  *  n|
    *  (2  +  (B1  *  canonical-bound(x1))  +  (B  *  canonical-bound(y2))))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}|((x1  n)  *  (y1  n))  -  r1  -  ((x2  n)  *  (y2  n))  -  r2|  \mleq{}  (|((x1  n)  *  (y1  n))  -  (x2  n)  *  (y2  n)|
                    +  |-r1|
                    +  |r2|)\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  (RepeatFor  2  ((RWO  "int-triangle-inequality<"  0  THENA  Auto))  THEN  RW  IntNormC  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RepeatFor  2  (Thin  (-1))  THEN  Thin  (-2))\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index