---

Step * 4 1 1 of Lemma regularize-2-regular


1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. ¬↑regular-upto(n;f)
4. m : ℕ+@i
5. ¬↑regular-upto(m;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
⊢ |k * ((m * ((n * (f k)) ÷ k)) + ((-1) * n * ((m * (f k)) ÷ k)))| ≤ (k * ((4 * m) + (4 * n)))
BY
{ ((RWO "minus-one-mul<" 0 THENA Auto)
   THEN (Subst' k * ((m * ((n * (f k)) ÷ k)) + (-(n * ((m * (f k)) ÷ k)))) ~ (m * k * ((n * (f k)) ÷ k))
         + (-(n * k * ((m * (f k)) ÷ k))) 0
         THENA Auto
         )
   THEN (RWO "div_rem_sum2" 0 THENA Auto)) }

1
1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. ¬↑regular-upto(n;f)
4. m : ℕ+@i
5. ¬↑regular-upto(m;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
⊢ |(m * ((n * (f k)) - n * (f k) rem k)) + (-(n * ((m * (f k)) - m * (f k) rem k)))| ≤ (k * ((4 * m) + (4 * n)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
3.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(n;f)
4.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
5.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(m;f)
6.  v  :  \mBbbN{}@i
7.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(v;f)@i
8.  \mforall{}[i:\mBbbN{}].  \mneg{}\mneg{}\muparrow{}regular-upto(i;f)  supposing  i  <  v@i
9.  \mneg{}(v  =  1)
10.  \mneg{}(v  =  0)
11.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
12.  (v  -  1)  =  k@i
\mvdash{}  |k  *  ((m  *  ((n  *  (f  k))  \mdiv{}  k))  +  ((-1)  *  n  *  ((m  *  (f  k))  \mdiv{}  k)))|  \mleq{}  (k  *  ((4  *  m)  +  (4  *  n)))


By

---

Latex:
((RWO  "minus-one-mul<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  k  *  ((m  *  ((n  *  (f  k))  \mdiv{}  k))  +  (-(n  *  ((m  *  (f  k))  \mdiv{}  k))))  \msim{}  (m
              *  k
              *  ((n  *  (f  k))  \mdiv{}  k))
              +  (-(n  *  k  *  ((m  *  (f  k))  \mdiv{}  k)))  0
              THENA  Auto
              )
  THEN  (RWO  "div\_rem\_sum2"  0  THENA  Auto))

---

Home Index