---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma rnonneg-rmul


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (x m)))
4. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (y m)))
5. n : ℕ+
6. N1 : ℕ+
7. ∀m:{N1...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m)))
8. N : ℕ+
9. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m)))
10. m : {imax(imax(N;N1);n)...}
11. N ≤ imax(imax(N;N1);n)
12. N1 ≤ imax(imax(N;N1);n)
13. ((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m))
14. ((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m))
15. 0 ≤ (x m)
16. ¬(0 ≤ (y m))
17. v : {2...}
18. ∀n:ℕ+. (|x n| ≤ ((2 * n) * v))
19. canonical-bound(x) = v ∈ {k:{2...}| ∀n:ℕ+. (|x n| ≤ ((2 * n) * k))} 
⊢ (x m) ≤ (m * 2 * v)
BY
{ (InstHyp [⌜m⌝] (-2)⋅ THENA Auto) }

1
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (x m)))
4. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (y m)))
5. n : ℕ+
6. N1 : ℕ+
7. ∀m:{N1...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m)))
8. N : ℕ+
9. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m)))
10. m : {imax(imax(N;N1);n)...}
11. N ≤ imax(imax(N;N1);n)
12. N1 ≤ imax(imax(N;N1);n)
13. ((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m))
14. ((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m))
15. 0 ≤ (x m)
16. ¬(0 ≤ (y m))
17. v : {2...}
18. ∀n:ℕ+. (|x n| ≤ ((2 * n) * v))
19. canonical-bound(x) = v ∈ {k:{2...}| ∀n:ℕ+. (|x n| ≤ ((2 * n) * k))} 
20. |x m| ≤ ((2 * m) * v)
⊢ (x m) ≤ (m * 2 * v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (x  m)))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (y  m)))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  N1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}m:\{N1...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(y))  *  n)  *  (x  m)))
8.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(x))  *  n)  *  (y  m)))
10.  m  :  \{imax(imax(N;N1);n)...\}
11.  N  \mleq{}  imax(imax(N;N1);n)
12.  N1  \mleq{}  imax(imax(N;N1);n)
13.  ((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(y))  *  n)  *  (x  m))
14.  ((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(x))  *  n)  *  (y  m))
15.  0  \mleq{}  (x  m)
16.  \mneg{}(0  \mleq{}  (y  m))
17.  v  :  \{2...\}
18.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|x  n|  \mleq{}  ((2  *  n)  *  v))
19.  canonical-bound(x)  =  v
\mvdash{}  (x  m)  \mleq{}  (m  *  2  *  v)


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index