---

Step * 1 1 1 1 2 of Lemma rnonneg-rmul


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (x m)))
4. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (y m)))
5. n : ℕ+
6. N1 : ℕ+
7. ∀m:{N1...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m)))
8. N : ℕ+
9. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m)))
10. m : {imax(imax(N;N1);n)...}
11. (((-2) * m) * m) ≤ (n * (x m) * (y m))
⊢ ((-2) * m) ≤ (n * (((x m) * (y m)) ÷ 2 * m))
BY
{ (((Assert 1 ≤ imax(N;N1) BY Auto) THEN (Assert 1 ≤ imax(imax(N;N1);n) BY Auto) THEN (Assert m ∈ ℕ+ BY Auto))
   THEN (Using [`n',⌜2 * m⌝] (BLemma `mul_cancel_in_le`)⋅ THENA Auto)
   THEN (Subst ⌜(2 * m) * n * (((x m) * (y m)) ÷ 2 * m) ~ n * (2 * m) * (((x m) * (y m)) ÷ 2 * m)⌝ 0⋅
         THENA (GenConclTerm ⌜((x m) * (y m)) ÷ 2 * m⌝⋅ THEN Auto)
         )
   THEN (RWO "div_rem_sum2" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "left_mul_subtract_distrib" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (x m)))
4. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (y m)))
5. n : ℕ+
6. N1 : ℕ+
7. ∀m:{N1...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m)))
8. N : ℕ+
9. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m)))
10. m : {imax(imax(N;N1);n)...}
11. (((-2) * m) * m) ≤ (n * (x m) * (y m))
12. 1 ≤ imax(N;N1)
13. 1 ≤ imax(imax(N;N1);n)
14. m ∈ ℕ+
⊢ ((2 * m) * (-2) * m) ≤ ((n * (x m) * (y m)) - n * ((x m) * (y m) rem 2 * m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (x  m)))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (y  m)))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  N1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}m:\{N1...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(y))  *  n)  *  (x  m)))
8.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(x))  *  n)  *  (y  m)))
10.  m  :  \{imax(imax(N;N1);n)...\}
11.  (((-2)  *  m)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (x  m)  *  (y  m))
\mvdash{}  ((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (((x  m)  *  (y  m))  \mdiv{}  2  *  m))


By

---

Latex:
(((Assert  1  \mleq{}  imax(N;N1)  BY
                  Auto)
    THEN  (Assert  1  \mleq{}  imax(imax(N;N1);n)  BY
                            Auto)
    THEN  (Assert  m  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}  BY
                            Auto))
  THEN  (Using  [`n',\mkleeneopen{}2  *  m\mkleeneclose{}]  (BLemma  `mul\_cancel\_in\_le`)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(2  *  m)  *  n  *  (((x  m)  *  (y  m))  \mdiv{}  2  *  m)  \msim{}  n  *  (2  *  m)  *  (((x  m)  *  (y  m))  \mdiv{}  2  *  m)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
              THENA  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}((x  m)  *  (y  m))  \mdiv{}  2  *  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
              )
  THEN  (RWO  "div\_rem\_sum2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "left\_mul\_subtract\_distrib"  0  THENA  Auto))

---

Home Index