---

Step * 1 2 1 of Lemma rpolynomial-locally-non-zero


1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : ℝ
6. v : ℝ
7. r0 ≤ u
8. u < v
9. v ≤ r1
10. B : ℕ+
11. 4 < |(Σi≤n. a_i * u^i) B|
⊢ ∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ λx.(Σi≤n. a_i * x^i)(z) ≠ r0)
BY
{ (RepUR ``r-ap`` 0
   THEN With ⌜u⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto
   THEN (RWO "absval_ifthenelse" (-3) THENA Auto)
   THEN ((SplitOnHypITE -3  THENA Auto) THENL [OrRight; OrLeft])
   THEN Auto
   THEN With ⌜B⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto
   THEN RepUR ``int-to-real`` 0
   THEN RW IntNormC 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  r0\^{}i)  <  r0
4.  r0  <  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  r1\^{}i)
5.  u  :  \mBbbR{}
6.  v  :  \mBbbR{}
7.  r0  \mleq{}  u
8.  u  <  v
9.  v  \mleq{}  r1
10.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  4  <  |(\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  u\^{}i)  B|
\mvdash{}  \mexists{}z:\mBbbR{}.  ((u  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  v)  \mwedge{}  \mlambda{}x.(\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)(z)  \mneq{}  r0)


By

---

Latex:
(RepUR  ``r-ap``  0
  THEN  With  \mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (RWO  "absval\_ifthenelse"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  ((SplitOnHypITE  -3    THENA  Auto)  THENL  [OrRight;  OrLeft])
  THEN  Auto
  THEN  With  \mkleeneopen{}B\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  RepUR  ``int-to-real``  0
  THEN  RW  IntNormC  0
  THEN  Auto)

---

Home Index