---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma rroot-regularity-lemma


1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. m : ℕ+
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c : ℤ
7. d : ℤ
8. a ≤ b
9. m ≤ a
10. (n ≤ b) ∨ ((b = 0 ∈ ℤ) ∧ (d = 0 ∈ ℤ))
11. a^k ≤ c
12. c < a + m^k
13. b^k ≤ d
14. d < b + n^k
15. |c - d| ≤ (2^k * (n^k + m^k))
16. ((2 * n) + m) + a + m < b
17. ((2 * n) + m) + a + m^k < b^k
⊢ (Σ(choose(k;i) * (2 * n) + m^i * 2 * m^k - i | i < k + 1) - 2 * m^k) + c < (1 * 1 * a + m^k)
+ Σ(choose(k;i + 1) * (2 * n) + m^i + 1 * a + m^k - i + 1 | i < (k + 1) - 1)
BY
{ Assert ⌜(Σ(choose(k;i) * (2 * n) + m^i * 2 * m^k - i | i < k + 1) - 2 * m^k) ≤ Σ(choose(k;i + 1)
          * (2 * n) + m^i + 1
          * a + m^k - i + 1 | i < (k + 1) - 1)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. m : ℕ+
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c : ℤ
7. d : ℤ
8. a ≤ b
9. m ≤ a
10. (n ≤ b) ∨ ((b = 0 ∈ ℤ) ∧ (d = 0 ∈ ℤ))
11. a^k ≤ c
12. c < a + m^k
13. b^k ≤ d
14. d < b + n^k
15. |c - d| ≤ (2^k * (n^k + m^k))
16. ((2 * n) + m) + a + m < b
17. ((2 * n) + m) + a + m^k < b^k
⊢ (Σ(choose(k;i) * (2 * n) + m^i * 2 * m^k - i | i < k + 1) - 2 * m^k) ≤ Σ(choose(k;i + 1)
  * (2 * n) + m^i + 1
  * a + m^k - i + 1 | i < (k + 1) - 1)

2
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. m : ℕ+
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c : ℤ
7. d : ℤ
8. a ≤ b
9. m ≤ a
10. (n ≤ b) ∨ ((b = 0 ∈ ℤ) ∧ (d = 0 ∈ ℤ))
11. a^k ≤ c
12. c < a + m^k
13. b^k ≤ d
14. d < b + n^k
15. |c - d| ≤ (2^k * (n^k + m^k))
16. ((2 * n) + m) + a + m < b
17. ((2 * n) + m) + a + m^k < b^k
18. (Σ(choose(k;i) * (2 * n) + m^i * 2 * m^k - i | i < k + 1) - 2 * m^k) ≤ Σ(choose(k;i + 1)
    * (2 * n) + m^i + 1
    * a + m^k - i + 1 | i < (k + 1) - 1)
⊢ (Σ(choose(k;i) * (2 * n) + m^i * 2 * m^k - i | i < k + 1) - 2 * m^k) + c < (1 * 1 * a + m^k)
+ Σ(choose(k;i + 1) * (2 * n) + m^i + 1 * a + m^k - i + 1 | i < (k + 1) - 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  a  :  \mBbbZ{}
5.  b  :  \mBbbZ{}
6.  c  :  \mBbbZ{}
7.  d  :  \mBbbZ{}
8.  a  \mleq{}  b
9.  m  \mleq{}  a
10.  (n  \mleq{}  b)  \mvee{}  ((b  =  0)  \mwedge{}  (d  =  0))
11.  a\^{}k  \mleq{}  c
12.  c  <  a  +  m\^{}k
13.  b\^{}k  \mleq{}  d
14.  d  <  b  +  n\^{}k
15.  |c  -  d|  \mleq{}  (2\^{}k  *  (n\^{}k  +  m\^{}k))
16.  ((2  *  n)  +  m)  +  a  +  m  <  b
17.  ((2  *  n)  +  m)  +  a  +  m\^{}k  <  b\^{}k
\mvdash{}  (\mSigma{}(choose(k;i)  *  (2  *  n)  +  m\^{}i  *  2  *  m\^{}k  -  i  |  i  <  k  +  1)  -  2  *  m\^{}k)  +  c  <  (1  *  1  *  a  +  m\^{}k)
+  \mSigma{}(choose(k;i  +  1)  *  (2  *  n)  +  m\^{}i  +  1  *  a  +  m\^{}k  -  i  +  1  |  i  <  (k  +  1)  -  1)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mSigma{}(choose(k;i)  *  (2  *  n)  +  m\^{}i  *  2  *  m\^{}k  -  i  |  i  <  k  +  1)  -  2  *  m\^{}k)  \mleq{}  \mSigma{}(choose(k;i  +  1)
                *  (2  *  n)  +  m\^{}i  +  1
                *  a  +  m\^{}k  -  i  +  1  |  i  <  (k  +  1)  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index