---

Step * 1 1 2 2 2 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma3


1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. d(c;p) = d(c;i)
12. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
13. d(a;q) = d(a;o)
14. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
15. ∀x,y,z:ℝ^n.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
16. d(c;p) ≤ d(c;d)
17. d(a;q) ≤ d(a;b)
18. ∀r1,r2:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀b:ℝ^n.
      ((r0 < ||b||)
      ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
      ⇒ (∃u,v:ℝ^n
           (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
           ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
           ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v))))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^n| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ u ≠ v)
BY
{ (InstLemma `rv-circle-circle-lemma2` [⌜n⌝;⌜d(a;b)⌝;⌜d(c;d)⌝;⌜c - a⌝]⋅
   THENA (Auto THEN Fold `real-vec-dist` 0 THEN RWO "real-vec-dist-symmetry" 0 THEN Auto)
   ) }

1
1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. d(c;p) = d(c;i)
12. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
13. d(a;q) = d(a;o)
14. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
15. ∀x,y,z:ℝ^n.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
16. d(c;p) ≤ d(c;d)
17. d(a;q) ≤ d(a;b)
18. ∀r1,r2:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀b:ℝ^n.
      ((r0 < ||b||)
      ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
      ⇒ (∃u,v:ℝ^n
           (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
           ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
           ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v))))
⊢ (d(b;a)^2 - d(d;c)^2) + d(a;c)^2^2 ≤ (r(4) * d(a;c)^2 * d(b;a)^2)

2
1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. d(c;p) = d(c;i)
12. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
13. d(a;q) = d(a;o)
14. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
15. ∀x,y,z:ℝ^n.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
16. d(c;p) ≤ d(c;d)
17. d(a;q) ≤ d(a;b)
18. ∀r1,r2:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀b:ℝ^n.
      ((r0 < ||b||)
      ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
      ⇒ (∃u,v:ℝ^n
           (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
           ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
           ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v))))
19. ∃u,v:ℝ^n
     (((||u|| = d(a;b)) ∧ (||u - c - a|| = d(c;d)))
     ∧ ((||v|| = d(a;b)) ∧ (||v - c - a|| = d(c;d)))
     ∧ (((d(a;b)^2 - d(c;d)^2) + ||c - a||^2^2 < (r(4) * ||c - a||^2 * d(a;b)^2)) ⇒ u ≠ v))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^n| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ u ≠ v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  d  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  d(a;b)  =  d(a;p)\} 
7.  q  :  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  d(c;d)  =  d(c;q)\} 
8.  i  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  (d(c;p)  =  d(c;x))  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-x-d)))\} 
9.  o  :  \{y:\mBbbR{}\^{}n|  (d(a;q)  =  d(a;y))  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  y  \mwedge{}  y  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-y-b)))\} 
10.  a  \mneq{}  c
11.  d(c;p)  =  d(c;i)
12.  \mneg{}(c  \mneq{}  i  \mwedge{}  i  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-i-d))
13.  d(a;q)  =  d(a;o)
14.  \mneg{}(a  \mneq{}  o  \mwedge{}  o  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-o-b))
15.  \mforall{}x,y,z:\mBbbR{}\^{}n.    (d(x;y)  =  d(x;z)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  d(x;y))
16.  d(c;p)  \mleq{}  d(c;d)
17.  d(a;q)  \mleq{}  d(a;b)
18.  \mforall{}r1,r2:\{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\}  .  \mforall{}b:\mBbbR{}\^{}n.
            ((r0  <  ||b||)
            {}\mRightarrow{}  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}u,v:\mBbbR{}\^{}n
                      (((||u||  =  r1)  \mwedge{}  (||u  -  b||  =  r2))
                      \mwedge{}  ((||v||  =  r1)  \mwedge{}  (||v  -  b||  =  r2))
                      \mwedge{}  (((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))  {}\mRightarrow{}  u  \mneq{}  v))))
\mvdash{}  \mexists{}u,v:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  (d(a;b)  =  d(a;p))  \mwedge{}  (d(c;d)  =  d(c;p))\} 
      (((d(a;o)  <  d(a;b))  \mwedge{}  (d(c;i)  <  d(c;d)))  {}\mRightarrow{}  u  \mneq{}  v)


By

---

Latex:
(InstLemma  `rv-circle-circle-lemma2`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d(a;b)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d(c;d)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c  -  a\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  Fold  `real-vec-dist`  0  THEN  RWO  "real-vec-dist-symmetry"  0  THEN  Auto)
  )

---

Home Index