---

Step * 1 of Lemma rv-line-circle


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. (d(a;p) ≤ d(a;b))
⇒ (d(a;b) ≤ d(a;q))
⇒ (∃u:{u:ℝ^n| ab=au ∧ (¬(q ≠ u ∧ u ≠ p ∧ (¬q-u-p)))} 
     (∃v:ℝ^n [(ab=av
             ∧ (¬(q ≠ p ∧ p ≠ v ∧ (¬q-p-v)))
             ∧ ((d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (q-p-v ∧ ((d(a;b) < d(a;q)) ⇒ q-u-p)))
             ∧ ((d(a;p) = d(a;b))
               ⇒ ((u ≠ v ⇒ ((req-vec(n;u;p) ∧ (r0 < p - a⋅q - p)) ∨ (req-vec(n;v;p) ∧ (p - a⋅q - p < r0))))
                  ∧ (req-vec(n;u;v) ⇒ ((p - a⋅q - p = r0) ∧ req-vec(n;u;p))))))]))
8. x : {x:ℝ^n| ap=ax ∧ (¬(a ≠ x ∧ x ≠ b ∧ (¬a-x-b)))} 
9. y : {y:ℝ^n| aq=ay ∧ (¬(a ≠ b ∧ b ≠ y ∧ (¬a-b-y)))} 
⊢ ∃u:{u:ℝ^n| ab=au ∧ (¬(q ≠ u ∧ u ≠ p ∧ (¬q-u-p)))} 
   ∃v:{v:ℝ^n| ab=av ∧ (¬(q ≠ p ∧ p ≠ v ∧ (¬q-p-v)))} . (a-x-b ⇒ (q-p-v ∧ (a-b-y ⇒ q-u-p)))
BY
{ (Assert d(a;p) ≤ d(a;b) BY
         (D 8
          THEN (Unhide THENA Auto)
          THEN (RWO "rv-T-iff<" 9 THENA Auto)
          THEN D 9
          THEN UnfoldTopAb 9
          THEN (RW (AddrC [1] (HypC 9)) 0 THENA Auto)
          THEN (FLemma `rv-T-dist` [-2] THENA Auto)
          THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
          THEN nRAdd ⌜-(d(a;x))⌝ 0⋅
          THEN Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. (d(a;p) ≤ d(a;b))
⇒ (d(a;b) ≤ d(a;q))
⇒ (∃u:{u:ℝ^n| ab=au ∧ (¬(q ≠ u ∧ u ≠ p ∧ (¬q-u-p)))} 
     (∃v:ℝ^n [(ab=av
             ∧ (¬(q ≠ p ∧ p ≠ v ∧ (¬q-p-v)))
             ∧ ((d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (q-p-v ∧ ((d(a;b) < d(a;q)) ⇒ q-u-p)))
             ∧ ((d(a;p) = d(a;b))
               ⇒ ((u ≠ v ⇒ ((req-vec(n;u;p) ∧ (r0 < p - a⋅q - p)) ∨ (req-vec(n;v;p) ∧ (p - a⋅q - p < r0))))
                  ∧ (req-vec(n;u;v) ⇒ ((p - a⋅q - p = r0) ∧ req-vec(n;u;p))))))]))
8. x : {x:ℝ^n| ap=ax ∧ (¬(a ≠ x ∧ x ≠ b ∧ (¬a-x-b)))} 
9. y : {y:ℝ^n| aq=ay ∧ (¬(a ≠ b ∧ b ≠ y ∧ (¬a-b-y)))} 
10. d(a;p) ≤ d(a;b)
⊢ ∃u:{u:ℝ^n| ab=au ∧ (¬(q ≠ u ∧ u ≠ p ∧ (¬q-u-p)))} 
   ∃v:{v:ℝ^n| ab=av ∧ (¬(q ≠ p ∧ p ≠ v ∧ (¬q-p-v)))} . (a-x-b ⇒ (q-p-v ∧ (a-b-y ⇒ q-u-p)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  p  \mneq{}  q
7.  (d(a;p)  \mleq{}  d(a;b))
{}\mRightarrow{}  (d(a;b)  \mleq{}  d(a;q))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}u:\{u:\mBbbR{}\^{}n|  ab=au  \mwedge{}  (\mneg{}(q  \mneq{}  u  \mwedge{}  u  \mneq{}  p  \mwedge{}  (\mneg{}q-u-p)))\} 
          (\mexists{}v:\mBbbR{}\^{}n  [(ab=av
                          \mwedge{}  (\mneg{}(q  \mneq{}  p  \mwedge{}  p  \mneq{}  v  \mwedge{}  (\mneg{}q-p-v)))
                          \mwedge{}  ((d(a;p)  <  d(a;b))  {}\mRightarrow{}  (q-p-v  \mwedge{}  ((d(a;b)  <  d(a;q))  {}\mRightarrow{}  q-u-p)))
                          \mwedge{}  ((d(a;p)  =  d(a;b))
                              {}\mRightarrow{}  ((u  \mneq{}  v
                                    {}\mRightarrow{}  ((req-vec(n;u;p)  \mwedge{}  (r0  <  p  -  a\mcdot{}q  -  p))
                                          \mvee{}  (req-vec(n;v;p)  \mwedge{}  (p  -  a\mcdot{}q  -  p  <  r0))))
                                    \mwedge{}  (req-vec(n;u;v)  {}\mRightarrow{}  ((p  -  a\mcdot{}q  -  p  =  r0)  \mwedge{}  req-vec(n;u;p))))))]))
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  ap=ax  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-x-b)))\} 
9.  y  :  \{y:\mBbbR{}\^{}n|  aq=ay  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  b  \mwedge{}  b  \mneq{}  y  \mwedge{}  (\mneg{}a-b-y)))\} 
\mvdash{}  \mexists{}u:\{u:\mBbbR{}\^{}n|  ab=au  \mwedge{}  (\mneg{}(q  \mneq{}  u  \mwedge{}  u  \mneq{}  p  \mwedge{}  (\mneg{}q-u-p)))\} 
      \mexists{}v:\{v:\mBbbR{}\^{}n|  ab=av  \mwedge{}  (\mneg{}(q  \mneq{}  p  \mwedge{}  p  \mneq{}  v  \mwedge{}  (\mneg{}q-p-v)))\}  .  (a-x-b  {}\mRightarrow{}  (q-p-v  \mwedge{}  (a-b-y  {}\mRightarrow{}  q-u-p)))


By

---

Latex:
(Assert  d(a;p)  \mleq{}  d(a;b)  BY
              (D  8
                THEN  (Unhide  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "rv-T-iff<"  9  THENA  Auto)
                THEN  D  9
                THEN  UnfoldTopAb  9
                THEN  (RW  (AddrC  [1]  (HypC  9))  0  THENA  Auto)
                THEN  (FLemma  `rv-T-dist`  [-2]  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
                THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}-(d(a;x))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index