---

Step * 1 1 1 1 2 of Lemma series-converges-tail


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. a : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k)))))})
4. y : ℕ ⟶ ℝ
5. N : ℕ
6. ∀n:{N...}. (y[n] = x[n])
7. k : ℕ+
8. N1 : ℕ
9. ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k))))
10. n : ℕ
11. imax(N;N1) ≤ n
12. |Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k))
13. Σ{y[i] | N + 1≤i≤n} = Σ{x[i] | N + 1≤i≤n}
⊢ (Σ{x[i] | 0≤i≤N} + Σ{x[i] | N + 1≤i≤n}) = ((Σ{y[i] | 0≤i≤N} + Σ{y[i] | N + 1≤i≤n}) - Σ{y[n] - x[n] | 0≤n≤N})
BY
{ (RWO "-1" 0 THENA Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. a : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k)))))})
4. y : ℕ ⟶ ℝ
5. N : ℕ
6. ∀n:{N...}. (y[n] = x[n])
7. k : ℕ+
8. N1 : ℕ
9. ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k))))
10. n : ℕ
11. imax(N;N1) ≤ n
12. |Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k))
13. Σ{y[i] | N + 1≤i≤n} = Σ{x[i] | N + 1≤i≤n}
⊢ (Σ{x[i] | 0≤i≤N} + Σ{x[i] | N + 1≤i≤n}) = ((Σ{y[i] | 0≤i≤N} + Σ{x[i] | N + 1≤i≤n}) - Σ{y[n] - x[n] | 0≤n≤N})

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
4.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  N  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}n:\{N...\}.  (y[n]  =  x[n])
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  N1  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N1  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k))))
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  imax(N;N1)  \mleq{}  n
12.  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k))
13.  \mSigma{}\{y[i]  |  N  +  1\mleq{}i\mleq{}n\}  =  \mSigma{}\{x[i]  |  N  +  1\mleq{}i\mleq{}n\}
\mvdash{}  (\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}  +  \mSigma{}\{x[i]  |  N  +  1\mleq{}i\mleq{}n\})
=  ((\mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}  +  \mSigma{}\{y[i]  |  N  +  1\mleq{}i\mleq{}n\})  -  \mSigma{}\{y[n]  -  x[n]  |  0\mleq{}n\mleq{}N\})


By

---

Latex:
(RWO  "-1"  0  THENA  Auto)

---

Home Index