---

Step * 1 1 1 of Lemma series-diverges-tail-iff


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. Σn.x[N + n]↑ ⇒ Σn.x[n]↑
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|))
7. k : ℕ
8. m : ℕ
9. n : ℕ
10. (N + k) ≤ m
11. (N + k) ≤ n
12. e ≤ |Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤m - N} - Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤n - N}|
13. k ≤ (m - N)
14. k ≤ (n - N)
15. ∀[n,m:ℤ]. ∀[x:Top].  (Σ{x[i] | n≤i≤m} ~ Σ{x[i + N] | n - N≤i≤m - N})
⊢ |Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤m - N} - Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤n - N}| = |Σ{x[N + i] | 0≤i≤m - N} - Σ{x[N + i] | 0≤i≤n - N}|
BY
{ (((Decide ⌜n ≤ m⌝⋅ THENA Auto)
    THENL [(RWO "rsum-difference" 0 THENA Auto)
          ; ((RWO "rabs-difference-symmetry" 0 THENA Auto) THEN (RWO "rsum-difference" 0 THENA Auto))]
   )
   THEN (BLemma `rabs_functionality` THENM BLemma `rsum_functionality`)
   THEN Auto
   THEN (D 0 THEN Auto)
   THEN Subst' i + N ~ N + i 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  \mSigma{}n.x[N  +  n]\muparrow{}  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))
7.  k  :  \mBbbN{}
8.  m  :  \mBbbN{}
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  (N  +  k)  \mleq{}  m
11.  (N  +  k)  \mleq{}  n
12.  e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i  +  N]  |  0  -  N\mleq{}i\mleq{}m  -  N\}  -  \mSigma{}\{x[i  +  N]  |  0  -  N\mleq{}i\mleq{}n  -  N\}|
13.  k  \mleq{}  (m  -  N)
14.  k  \mleq{}  (n  -  N)
15.  \mforall{}[n,m:\mBbbZ{}].  \mforall{}[x:Top].    (\mSigma{}\{x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \msim{}  \mSigma{}\{x[i  +  N]  |  n  -  N\mleq{}i\mleq{}m  -  N\})
\mvdash{}  |\mSigma{}\{x[i  +  N]  |  0  -  N\mleq{}i\mleq{}m  -  N\}  -  \mSigma{}\{x[i  +  N]  |  0  -  N\mleq{}i\mleq{}n  -  N\}|
=  |\mSigma{}\{x[N  +  i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m  -  N\}  -  \mSigma{}\{x[N  +  i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  N\}|


By

---

Latex:
(((Decide  \mkleeneopen{}n  \mleq{}  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
    THENL  [(RWO  "rsum-difference"  0  THENA  Auto)
                ;  ((RWO  "rabs-difference-symmetry"  0  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "rsum-difference"  0  THENA  Auto))]
  )
  THEN  (BLemma  `rabs\_functionality`  THENM  BLemma  `rsum\_functionality`)
  THEN  Auto
  THEN  (D  0  THEN  Auto)
  THEN  Subst'  i  +  N  \msim{}  N  +  i  0
  THEN  Auto)

---

Home Index