---

Step * of Lemma simple-chain-rule

∀I:Interval. ∀f,f':I ⟶ℝ. ∀g,g':(-∞, ∞) ⟶ℝ.
  (iproper(I)
  ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
  ⇒ (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g'[x] = g'[y])))
  ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
  ⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on (-∞, ∞)
  ⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I)
BY
{ (InstLemma `chain-rule` []
   THEN ParallelLast'
   THEN (InstHyp [⌜(-∞, ∞)⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 4 (ParallelLast')
   THEN Auto
   THEN BackThruSomeHyp
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. ∀J:Interval. ∀f,f':I ⟶ℝ. ∀g,g':J ⟶ℝ.
     (iproper(J)
     ⇒ maps-compact(I;J;x.f[x])
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x = y) ⇒ (g'[x] = g'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
     ⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on J
     ⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. g : (-∞, ∞) ⟶ℝ
6. g' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
7. iproper((-∞, ∞))
⇒ maps-compact(I;(-∞, ∞);x.f[x])
⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  ((x = y) ⇒ (g'[x] = g'[y])))
⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on (-∞, ∞)
⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I
8. iproper(I)
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
10. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g'[x] = g'[y]))
11. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
12. d(g[x])/dx = λx.g'[x] on (-∞, ∞)
⊢ maps-compact(I;(-∞, ∞);x.f[x])

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval.  \mforall{}f,f':I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}g,g':(-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    (iproper(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g'[x]  =  g'[y])))
    {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
    {}\mRightarrow{}  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.g'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
    {}\mRightarrow{}  d(g[f[x]])/dx  =  \mlambda{}x.g'[f[x]]  *  f'[x]  on  I)


By

---

Latex:
(InstLemma  `chain-rule`  []
  THEN  ParallelLast'
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}(-\minfty{},  \minfty{})\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast')
  THEN  Auto
  THEN  BackThruSomeHyp
  THEN  Auto)

---

Home Index