---

Step * 1 2 1 of Lemma sine-exists


1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
⊢ lim i→∞.(x^2 * i)/((2 * i) + 1)! = r0
BY
{ ((InstLemma `subsequence-converges` [⌜r0⌝;⌜λ2n.(|x|^n/r((n + 1)!))⌝]⋅ THENM BHyp (-1))⋅ THEN Auto) }

1
1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
6. ∀y:ℕ ⟶ ℝ
     ((∃N:ℕ. ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (y[n] = (|x|^m/r((m + 1)!)))) supposing N ≤ n)
     ⇒ lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
     ⇒ lim n→∞.y[n] = r0)
⊢ ∃N:ℕ. ∀i:ℕ. ∃m:ℕ. ((i ≤ m) ∧ ((x^2 * i)/((2 * i) + 1)! = (|x|^m/r((m + 1)!)))) supposing N ≤ i

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  |x|  \mleq{}  r(b)
4.  \mforall{}b:\mBbbN{}
          (((x  *  x)  \mleq{}  r(b  *  b))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (((b  \mdiv{}  2)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((x  *  x)  \mleq{}  (r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)/r(((2  *  n)  +  1)!))))))
5.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(|x|\^{}n/r((n  +  1)!))  =  r0
\mvdash{}  lim  i\mrightarrow{}\minfty{}.(x\^{}2  *  i)/((2  *  i)  +  1)!  =  r0


By

---

Latex:
((InstLemma  `subsequence-converges`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.(|x|\^{}n/r((n  +  1)!))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENM  BHyp  (-1))\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index