---

Step * 1 1 1 of Lemma strict-monotonic-is-locally-non-constant


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))) ∨ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f y) < (f x))))
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. x : ℝ
7. u : ℝ
8. v : ℝ
9. a ≤ u
10. u < v
11. v ≤ b
12. f u ≠ f v
13. f u ≠ x ∨ f v ≠ x
⊢ ∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ x)
BY
{ (Fold `r-ap` (-1) THEN D -1 THEN Auto THEN InstLemma `i-member-between` [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  <  (f  y))))
\mvee{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  y)  <  (f  x))))
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  u  :  \mBbbR{}
8.  v  :  \mBbbR{}
9.  a  \mleq{}  u
10.  u  <  v
11.  v  \mleq{}  b
12.  f  u  \mneq{}  f  v
13.  f  u  \mneq{}  x  \mvee{}  f  v  \mneq{}  x
\mvdash{}  \mexists{}z:\mBbbR{}.  ((u  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  v)  \mwedge{}  f(z)  \mneq{}  x)


By

---

Latex:
(Fold  `r-ap`  (-1)  THEN  D  -1  THEN  Auto  THEN  InstLemma  `i-member-between`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index