---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma sup-iff-closure


1. A : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))))
5. ∀n:ℕ+. ∃z:ℝ. ((z ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < z))
6. z : n:ℕ+ ⟶ ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((z n ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < (z n)))
8. k : ℕ+
9. n : ℕ
10. k ≤ n
⊢ |(z (n + 1)) - x| ≤ (r1/r(k))
BY
{ ((InstHyp [⌜n + 1⌝] (-4))⋅ THENA Auto') }

1
1. A : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))))
5. ∀n:ℕ+. ∃z:ℝ. ((z ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < z))
6. z : n:ℕ+ ⟶ ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((z n ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < (z n)))
8. k : ℕ+
9. n : ℕ
10. k ≤ n
11. (z (n + 1) ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n + 1))) < (z (n + 1)))
⊢ |(z (n + 1)) - x| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Set(\mBbbR{})
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  A  \mleq{}  x
4.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x@0:\mBbbR{}.  ((x@0  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  e)  <  x@0))))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}z:\mBbbR{}.  ((z  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  (r1/r(n)))  <  z))
6.  z  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((z  n  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  (r1/r(n)))  <  (z  n)))
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  k  \mleq{}  n
\mvdash{}  |(z  (n  +  1))  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}n  +  1\mkleeneclose{}]  (-4))\mcdot{}  THENA  Auto')

---

Home Index