---

Step * 1 2 1 2 1 1 1 1 of Lemma increasing-sequence-converges


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
7. r0 < v
8. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. |(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))
12. a : ℕ+
13. c^imin(n;m) = a ∈ ℕ+
14. b : ℕ+
15. (c - 1) = b ∈ ℕ+
16. r0 < (r(b) * r(a))
17. r0 < (r(M) * r(a))
⊢ ((r(c) * v/r(b)) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((r(c) * v/r(b * a)) ≤ (r1/r(M * a)))
BY
{ ((RWO "rmul-int<" 0 THENA Auto)
   THEN ((Assert r0 < r(a) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1) THEN (GenConcl ⌜r(a) = aa ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto))
   THEN ((Assert r0 < r(b) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1) THEN (GenConcl ⌜r(b) = bb ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto))
   THEN (Assert r0 < r(M) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConcl ⌜r(M) = MM ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
7. r0 < v
8. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. |(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))
12. a : ℕ+
13. c^imin(n;m) = a ∈ ℕ+
14. b : ℕ+
15. (c - 1) = b ∈ ℕ+
16. r0 < (r(b) * r(a))
17. r0 < (r(M) * r(a))
18. aa : ℝ
19. r(a) = aa ∈ ℝ
20. bb : ℝ
21. r(b) = bb ∈ ℝ
22. MM : ℝ
23. r(M) = MM ∈ ℝ
⊢ (r0 < MM) ⇒ (r0 < bb) ⇒ (r0 < aa) ⇒ ((r(c) * v/bb) ≤ (r1/MM)) ⇒ ((r(c) * v/bb * aa) ≤ (r1/MM * aa))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x  n)  <  (x  (n  +  1)))
3.  c  :  \{2...\}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  v  :  \mBbbR{}
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((x  (n  +  1))  -  x  n)  \mleq{}  ((r1/r(c\^{}n))  *  v))
7.  r0  <  v
8.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|n  -  m|  <  d  {}\mRightarrow{}  (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r(c)  *  v/r((c  -  1)  *  c\^{}imin(n;m)))))
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  |(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r(c)  *  v/r((c  -  1)  *  c\^{}imin(n;m)))
12.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  c\^{}imin(n;m)  =  a
14.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  (c  -  1)  =  b
16.  r0  <  (r(b)  *  r(a))
17.  r0  <  (r(M)  *  r(a))
\mvdash{}  ((r(c)  *  v/r(b))  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  ((r(c)  *  v/r(b  *  a))  \mleq{}  (r1/r(M  *  a)))


By

---

Latex:
((RWO  "rmul-int<"  0  THENA  Auto)
  THEN  ((Assert  r0  <  r(a)  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1)  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}r(a)  =  aa\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  ((Assert  r0  <  r(b)  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1)  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}r(b)  =  bb\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  r0  <  r(M)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}r(M)  =  MM\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index