---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma logseq-property


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. b : {b:ℝ| |b - rlog(a)| ≤ (r1/r(10))} 
3. n : ℤ
4. 0 < n
5. |logseq(a;b;n - 1) - rlog(a)| ≤ (r1/r(10^3^(n - 1)))
6. c : ℝ
7. logseq(a;b;n - 1) = c ∈ ℝ
8. |lgc(a;(c within 1/4 * 10^3^n)) - (lgc(a;(c within 1/4 * 10^3^n)) within 1/4 * 10^3^n)| ≤ (r1/r(4 * 10^3^n))
9. M : ℕ+
10. (4 * 10^3^n) = M ∈ ℕ+
11. d : ℝ
12. (c within 1/M) = d ∈ ℝ
⊢ (|c - d| ≤ (r1/r(M))) ⇒ (|log-contraction(a;d) - log-contraction(a;c)| ≤ (r1/r(M)))
BY
{ ((Assert ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x)) BY
          (Auto THEN (RWO "rexp-positive<" 0 THENM nRNorm 0) THEN Auto))
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `mean-value-for-bounded-derivative`
          [⌜(-∞, ∞)⌝;⌜λ2x.log-contraction(a;x)⌝;⌜λ2x.(a - e^x/a + e^x)^2⌝;⌜r1⌝]⋅
         THENA Auto
         )) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. b : {b:ℝ| |b - rlog(a)| ≤ (r1/r(10))} 
3. n : ℤ
4. 0 < n
5. |logseq(a;b;n - 1) - rlog(a)| ≤ (r1/r(10^3^(n - 1)))
6. c : ℝ
7. logseq(a;b;n - 1) = c ∈ ℝ
8. |lgc(a;(c within 1/4 * 10^3^n)) - (lgc(a;(c within 1/4 * 10^3^n)) within 1/4 * 10^3^n)| ≤ (r1/r(4 * 10^3^n))
9. M : ℕ+
10. (4 * 10^3^n) = M ∈ ℕ+
11. d : ℝ
12. (c within 1/M) = d ∈ ℝ
13. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
14. |c - d| ≤ (r1/r(M))
15. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|log-contraction(a;x) - log-contraction(a;y)| ≤ (r1 * |x - y|))
⊢ |log-contraction(a;d) - log-contraction(a;c)| ≤ (r1/r(M))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  |b  -  rlog(a)|  \mleq{}  (r1/r(10))\} 
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  n
5.  |logseq(a;b;n  -  1)  -  rlog(a)|  \mleq{}  (r1/r(10\^{}3\^{}(n  -  1)))
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  logseq(a;b;n  -  1)  =  c
8.  |lgc(a;(c  within  1/4  *  10\^{}3\^{}n))  -  (lgc(a;(c  within  1/4  *  10\^{}3\^{}n))  within  1/4  *  10\^{}3\^{}n)|  \mleq{}  (r1/r(4
*  10\^{}3\^{}n))
9.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (4  *  10\^{}3\^{}n)  =  M
11.  d  :  \mBbbR{}
12.  (c  within  1/M)  =  d
\mvdash{}  (|c  -  d|  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  (|log-contraction(a;d)  -  log-contraction(a;c)|  \mleq{}  (r1/r(M)))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))  BY
                (Auto  THEN  (RWO  "rexp-positive<"  0  THENM  nRNorm  0)  THEN  Auto))
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `mean-value-for-bounded-derivative`
                [\mkleeneopen{}(-\minfty{},  \minfty{})\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.log-contraction(a;x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              ))

---

Home Index