---

Step * 2 1 1 2 1 1 1 of Lemma rcos-seq-positive

.....assertion..... 
1. x : ℝ
2. r0 < x
3. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, x]} . (r0 < rcos(t))
4. r0 < (x + rcos(x))
5. t : {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ (x + rcos(x)))} 
6. rcos(t) continuous for t ∈ (-∞, ∞)
7. n : ℕ
8. r(-n) ≤ x
9. x ≤ r(n)
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < rcos(x)
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ (∀t:ℝ. ((|t - x| ≤ d) ⇒ (|rcos(t) - rcos(x)| ≤ (r1/r(k))))))
BY
{ ((D -6 With ⌜n + 1⌝  THENA (MemTypeCD THEN Auto THEN RepUR ``i-approx`` 0 THEN Auto))
   THEN (D -1 With ⌜k⌝  THENA Auto)
   THEN RepUR ``i-approx`` -1
   THEN ExRepD) }

1
1. x : ℝ
2. r0 < x
3. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, x]} . (r0 < rcos(t))
4. r0 < (x + rcos(x))
5. t : {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ (x + rcos(x)))} 
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ x
8. x ≤ r(n)
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < rcos(x)
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. ∀t,y:ℝ.
      (((r(-(n + 1)) ≤ t) ∧ (t ≤ r(n + 1)))
      ⇒ ((r(-(n + 1)) ≤ y) ∧ (y ≤ r(n + 1)))
      ⇒ (|t - y| ≤ d)
      ⇒ (|rcos(t) - rcos(y)| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ (∀t:ℝ. ((|t - x| ≤ d) ⇒ (|rcos(t) - rcos(x)| ≤ (r1/r(k))))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  x  :  \mBbbR{}
2.  r0  <  x
3.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  x]\}  .  (r0  <  rcos(t))
4.  r0  <  (x  +  rcos(x))
5.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  (x  +  rcos(x)))\} 
6.  rcos(t)  continuous  for  t  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  r(-n)  \mleq{}  x
9.  x  \mleq{}  r(n)
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (r1/r(k))  <  rcos(x)
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  (\mforall{}t:\mBbbR{}.  ((|t  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|rcos(t)  -  rcos(x)|  \mleq{}  (r1/r(k))))))


By

---

Latex:
((D  -6  With  \mkleeneopen{}n  +  1\mkleeneclose{}    THENA  (MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  RepUR  ``i-approx``  0  THEN  Auto))
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``i-approx``  -1
  THEN  ExRepD)

---

Home Index