---

Step * 2 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma rcos-seq-positive


1. x : ℝ
2. r0 < x
3. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, x]} . (r0 < rcos(t))
4. r0 < (x + rcos(x))
5. t : {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ (x + rcos(x)))} 
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ x
8. x ≤ r(n)
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < rcos(x)
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. ∀t,y:ℝ.
      (((r(-(n + 1)) ≤ t) ∧ (t ≤ r(n + 1)))
      ⇒ ((r(-(n + 1)) ≤ y) ∧ (y ≤ r(n + 1)))
      ⇒ (|t - y| ≤ d)
      ⇒ (|rcos(t) - rcos(y)| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ (∀t:ℝ. ((|t - x| ≤ d) ⇒ (|rcos(t) - rcos(x)| ≤ (r1/r(k))))))
BY
{ ((D 0 With ⌜rmin(d;(r1/r(2)))⌝  THEN Auto THEN Try ((RWO "rmin_strict_ub<" 0 THEN Auto)))
   THEN Try ((RWO "rmin_ub<" (-1) THENA Auto))
   THEN Try (((RWO "rabs-difference-bound-rleq" (-1) THENA Auto) THEN ExRepD))) }

1
1. x : ℝ
2. r0 < x
3. ∀t:{t:ℝ| t ∈ [r0, x]} . (r0 < rcos(t))
4. r0 < (x + rcos(x))
5. t : {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ (x + rcos(x)))} 
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ x
8. x ≤ r(n)
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < rcos(x)
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. ∀t,y:ℝ.
      (((r(-(n + 1)) ≤ t) ∧ (t ≤ r(n + 1)))
      ⇒ ((r(-(n + 1)) ≤ y) ∧ (y ≤ r(n + 1)))
      ⇒ (|t - y| ≤ d)
      ⇒ (|rcos(t) - rcos(y)| ≤ (r1/r(k))))
14. r0 < rmin(d;(r1/r(2)))
15. t1 : ℝ
16. (x - d) ≤ t1
17. t1 ≤ (x + d)
18. (x - (r1/r(2))) ≤ t1
19. t1 ≤ (x + (r1/r(2)))
⊢ |rcos(t1) - rcos(x)| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  r0  <  x
3.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [r0,  x]\}  .  (r0  <  rcos(t))
4.  r0  <  (x  +  rcos(x))
5.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  (x  +  rcos(x)))\} 
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  r(-n)  \mleq{}  x
8.  x  \mleq{}  r(n)
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  rcos(x)
11.  d  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d
13.  \mforall{}t,y:\mBbbR{}.
            (((r(-(n  +  1))  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r(n  +  1)))
            {}\mRightarrow{}  ((r(-(n  +  1))  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  r(n  +  1)))
            {}\mRightarrow{}  (|t  -  y|  \mleq{}  d)
            {}\mRightarrow{}  (|rcos(t)  -  rcos(y)|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  (\mforall{}t:\mBbbR{}.  ((|t  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|rcos(t)  -  rcos(x)|  \mleq{}  (r1/r(k))))))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}rmin(d;(r1/r(2)))\mkleeneclose{}    THEN  Auto  THEN  Try  ((RWO  "rmin\_strict\_ub<"  0  THEN  Auto)))
  THEN  Try  ((RWO  "rmin\_ub<"  (-1)  THENA  Auto))
  THEN  Try  (((RWO  "rabs-difference-bound-rleq"  (-1)  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)))

---

Home Index