---

Step * 1 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
⊢ x |→ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) x))
  ∈ nat-trans(A;A;functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G));functor-comp(F;G))
BY
{ (MemCD THEN Try (QuickAuto)) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
8. x : cat-ob(A)
⊢ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) x)) ∈ cat-arrow(A) 
                                                                        (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);
                                                                                         functor-comp(F;G))) 
                                                                         x) 
                                                                        (ob(functor-comp(F;G)) x)

2
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
⊢ ∀A1,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A1 B.
    ((cat-comp(A) (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1) (ob(functor-comp(F;G)) A1) 
      (ob(functor-comp(F;G)) B) 
      (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1))) (ob(F) A1) ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) A1))) 
      (arrow(functor-comp(F;G)) A1 B g))
    = (cat-comp(A) (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1) 
       (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) B) 
       (ob(functor-comp(F;G)) B) 
       (arrow(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1 B g) 
       (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B))) (ob(F) B) ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) B))))
    ∈ (cat-arrow(A) (ob(functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))) A1) (ob(functor-comp(F;G)) B)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6.  a2  :  nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7.  counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1,  a2>);snd(<a1,  a2>))
\mvdash{}  x  |\mrightarrow{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  ((fst(<a1,  a2>))  (ob(F)  x))
    \mmember{}  nat-trans(A;A;functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G));functor-comp(F;G))


By

---

Latex:
(MemCD  THEN  Try  (QuickAuto))

---

Home Index