---

Step * 3 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. adj : F -| G
⊢ ∀X:cat-ob(A)
    ((cat-comp(A) (ob(functor-comp(F;G)) X) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X)) (ob(functor-comp(F;G)) X) 
      (arrow(functor-comp(F;G)) X (ob(functor-comp(F;G)) X) ((snd(adj)) X)) 
      (x |→ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(adj)) (ob(F) x)) X))
    = (cat-id(A) (ob(functor-comp(F;G)) X))
    ∈ (cat-arrow(A) (ob(functor-comp(F;G)) X) (ob(functor-comp(F;G)) X)))
BY
{ (D -1
   THEN D -2
   THEN Intro
   THEN All Reduce
   THEN RepUR ``functor-comp`` 0
   THEN Auto
   THEN D -2
   THEN All Reduce
   THEN (DVar `a2' THEN DVar `a1')
   THEN All (RepUR ``functor-comp id_functor``)) }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) A B@0.
     ((cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) A B@0 (a1 A) g)
     = (cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) (ob(F) (ob(G) B@0)) B@0 (arrow(F) (ob(G) A) (ob(G) B@0) (arrow(G) A B@0 g)) 
        (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) B@0))
7. a2 : A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)) (ob(G) (ob(F) B)) (a2 A@0) 
       (arrow(G) (ob(F) A@0) (ob(F) B) (arrow(F) A@0 B g)))
     = (cat-comp(A) A@0 B (ob(G) (ob(F) B)) g (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) B))))
9. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (ob(F) d) (ob(F) (ob(G) (ob(F) d))) (ob(F) d) (arrow(F) d (ob(G) (ob(F) d)) (a2 d)) (a1 (ob(F) d)))
     = (cat-id(B) (ob(F) d))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) d) (ob(F) d)))
10. ∀c:cat-ob(B)
      ((cat-comp(A) (ob(G) c) (ob(G) (ob(F) (ob(G) c))) (ob(G) c) (a2 (ob(G) c)) (arrow(G) (ob(F) (ob(G) c)) c (a1 c)))
      = (cat-id(A) (ob(G) c))
      ∈ (cat-arrow(A) (ob(G) c) (ob(G) c)))
11. X : cat-ob(A)
⊢ (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) X)) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) X) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (arrow(F) X (ob(G) (ob(F) X)) (a2 X))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
= (cat-id(A) (ob(G) (ob(F) X)))
∈ (cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) X)) (ob(G) (ob(F) X)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  adj  :  F  -|  G
\mvdash{}  \mforall{}X:cat-ob(A)
        ((cat-comp(A)  (ob(functor-comp(F;G))  X)  (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  X)) 
            (ob(functor-comp(F;G))  X) 
            (arrow(functor-comp(F;G))  X  (ob(functor-comp(F;G))  X)  ((snd(adj))  X)) 
            (x  |\mrightarrow{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  ((fst(adj))  (ob(F)  x))  X))
        =  (cat-id(A)  (ob(functor-comp(F;G))  X)))


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  D  -2
  THEN  Intro
  THEN  All  Reduce
  THEN  RepUR  ``functor-comp``  0
  THEN  Auto
  THEN  D  -2
  THEN  All  Reduce
  THEN  (DVar  `a2'  THEN  DVar  `a1')
  THEN  All  (RepUR  ``functor-comp  id\_functor``))

---

Home Index