Proof of Nuprl Lemma : functor-curry

Step * 12 8 of Lemma functor-curry_wf

1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. G : cat-ob(FUN(A × B;C))
6. z : cat-ob(FUN(A × B;C))
7. T : cat-arrow(FUN(A × B;C)) F G
8. g : cat-arrow(FUN(A × B;C)) G z
9. A@0 : cat-ob(A)
10. B@0 : cat-ob(A)
11. g1 : cat-arrow(A) A@0 B@0

⊢ b |→ cat-comp(C) (F <A@0, b>) (G <A@0, b>) (z <A@0, b>) (T <A@0, b>) (g <A@0, b>) o b |→ z <A@0, b> <B@0, b> <g1, cat-\000Cid(B) b>

= b |→ F <A@0, b> <B@0, b> <g1, cat-id(B) b> o b |→ cat-comp(C) (F <B@0, b>) (G <B@0, b>) (z <B@0, b>) (T <B@0, b>) (g <\000CB@0, b>)

∈ nat-trans(B;C;functor(ob(b) = F <A@0, b>;

                        arrow(x@0,y,f) = F <A@0, x@0> <A@0, y> <cat-id(A) A@0, f>);functor(ob(b) = z <B@0, b>;

                                                                     arrow(x,y,f) = z <B@0, x> <B@0, y> <cat-id(A) B@0, \000Cf>))

BY
{ NatTransEq THEN Reduce 0 }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. G : cat-ob(FUN(A × B;C))
6. z : cat-ob(FUN(A × B;C))
7. T : cat-arrow(FUN(A × B;C)) F G
8. g : cat-arrow(FUN(A × B;C)) G z
9. A@0 : cat-ob(A)
10. B@0 : cat-ob(A)
11. g1 : cat-arrow(A) A@0 B@0
12. A@1 : cat-ob(B)
⊢ (cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (z <A@0, A@1>) (z <B@0, A@1>)
(cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (G <A@0, A@1>) (z <A@0, A@1>) (T <A@0, A@1>) (g <A@0, A@1>))
(z <A@0, A@1> <B@0, A@1> <g1, cat-id(B) A@1>))

= (cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (F <B@0, A@1>) (z <B@0, A@1>) (F <A@0, A@1> <B@0, A@1> <g1, cat-id(B) A@1>)

   (cat-comp(C) (F <B@0, A@1>) (G <B@0, A@1>) (z <B@0, A@1>) (T <B@0, A@1>) (g <B@0, A@1>)))
∈ (cat-arrow(C) (F <A@0, A@1>) (z <B@0, A@1>))

2
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. F : cat-ob(FUN(A × B;C))
5. G : cat-ob(FUN(A × B;C))
6. z : cat-ob(FUN(A × B;C))
7. T : cat-arrow(FUN(A × B;C)) F G
8. g : cat-arrow(FUN(A × B;C)) G z
9. A@0 : cat-ob(A)
10. B@0 : cat-ob(A)
11. g1 : cat-arrow(A) A@0 B@0
12. A@1 : cat-ob(B)
13. B@1 : cat-ob(B)
14. g2 : cat-arrow(B) A@1 B@1
⊢ (cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (z <B@0, A@1>) (z <B@0, B@1>)
   (cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (z <A@0, A@1>) (z <B@0, A@1>)
    (cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (G <A@0, A@1>) (z <A@0, A@1>) (T <A@0, A@1>) (g <A@0, A@1>))
    (z <A@0, A@1> <B@0, A@1> <g1, cat-id(B) A@1>))
   (z <B@0, A@1> <B@0, B@1> <cat-id(A) B@0, g2>))

= (cat-comp(C) (F <A@0, A@1>) (F <A@0, B@1>) (z <B@0, B@1>) (F <A@0, A@1> <A@0, B@1> <cat-id(A) A@0, g2>)

   (cat-comp(C) (F <A@0, B@1>) (z <A@0, B@1>) (z <B@0, B@1>)
    (cat-comp(C) (F <A@0, B@1>) (G <A@0, B@1>) (z <A@0, B@1>) (T <A@0, B@1>) (g <A@0, B@1>))
    (z <A@0, B@1> <B@0, B@1> <g1, cat-id(B) B@1>)))
∈ (cat-arrow(C) (F <A@0, A@1>) (z <B@0, B@1>))

Latex:

Latex:
1. A : SmallCategory 2. B : SmallCategory 3. C : SmallCategory 4. F : cat-ob(FUN(A \mtimes{} B;C)) 5. G : cat-ob(FUN(A \mtimes{} B;C)) 6. z : cat-ob(FUN(A \mtimes{} B;C)) 7. T : cat-arrow(FUN(A \mtimes{} B;C)) F G 8. g : cat-arrow(FUN(A \mtimes{} B;C)) G z 9. A@0 : cat-ob(A) 10. B@0 : cat-ob(A) 11. g1 : cat-arrow(A) A@0 B@0 \mvdash{} b |\mrightarrow{} cat-comp(C) (F <A@0, b>) (G <A@0, b>) (z <A@0, b>) (T <A@0, b>) (g <A@0, b>) o b |\mrightarrow{} z <A@0, b\000C> <B@0, b> <g1, cat-id(B) b> = b |\mrightarrow{} F <A@0, b> <B@0, b> <g1, cat-id(B) b> o b |\mrightarrow{} cat-comp(C) (F <B@0, b>) (G <B@0, b>) (z <B@0, b\000C>) (T <B@0, b>) (g <B@0, b>) By Latex: NatTransEq THEN Reduce 0 Home Index