---

Step * 3 1 1 1 of Lemma presheaf-element-map_wf

.....set predicate..... 
1. C : SmallCategory
2. A : Presheaf(C)
3. B : Presheaf(C)
4. m : A ⟶ B
5. A@0 : cat-ob(op-cat(C))
6. p1 : ob(A) A@0
7. A1 : cat-ob(op-cat(C))
8. q1 : ob(A) A1
9. A2 : cat-ob(op-cat(C))
10. z1 : ob(A) A2
11. f : cat-arrow(op-cat(C)) A1 A@0
12. (arrow(A) A1 A@0 f q1) = p1 ∈ (ob(A) A@0)
13. g : cat-arrow(op-cat(C)) A2 A1
14. (arrow(A) A2 A1 g z1) = q1 ∈ (ob(A) A1)
⊢ (arrow(B) A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f) (m A2 z1)) = (m A@0 p1) ∈ (ob(B) A@0)
BY
{ (D 4 THEN RepUR ``type-cat`` 5 THEN (InstHyp [⌜A2⌝;⌜A@0⌝;⌜cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f⌝] 5⋅ THENA Auto)) }

1
1. C : SmallCategory
2. A : Presheaf(C)
3. B : Presheaf(C)
4. m : A@0:cat-ob(op-cat(C)) ⟶ (cat-arrow(TypeCat) (ob(A) A@0) (ob(B) A@0))
5. ∀A@0,B@0:cat-ob(op-cat(C)). ∀g:cat-arrow(op-cat(C)) A@0 B@0.
     (((arrow(B) A@0 B@0 g) o (m A@0)) = ((m B@0) o (arrow(A) A@0 B@0 g)) ∈ ((ob(A) A@0) ⟶ (ob(B) B@0)))
6. A@0 : cat-ob(op-cat(C))
7. p1 : ob(A) A@0
8. A1 : cat-ob(op-cat(C))
9. q1 : ob(A) A1
10. A2 : cat-ob(op-cat(C))
11. z1 : ob(A) A2
12. f : cat-arrow(op-cat(C)) A1 A@0
13. (arrow(A) A1 A@0 f q1) = p1 ∈ (ob(A) A@0)
14. g : cat-arrow(op-cat(C)) A2 A1
15. (arrow(A) A2 A1 g z1) = q1 ∈ (ob(A) A1)
16. ((arrow(B) A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f)) o (m A2))
= ((m A@0) o (arrow(A) A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f)))
∈ ((ob(A) A2) ⟶ (ob(B) A@0))
⊢ (arrow(B) A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f) (m A2 z1)) = (m A@0 p1) ∈ (ob(B) A@0)

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  C  :  SmallCategory
2.  A  :  Presheaf(C)
3.  B  :  Presheaf(C)
4.  m  :  A  {}\mrightarrow{}  B
5.  A@0  :  cat-ob(op-cat(C))
6.  p1  :  ob(A)  A@0
7.  A1  :  cat-ob(op-cat(C))
8.  q1  :  ob(A)  A1
9.  A2  :  cat-ob(op-cat(C))
10.  z1  :  ob(A)  A2
11.  f  :  cat-arrow(op-cat(C))  A1  A@0
12.  (arrow(A)  A1  A@0  f  q1)  =  p1
13.  g  :  cat-arrow(op-cat(C))  A2  A1
14.  (arrow(A)  A2  A1  g  z1)  =  q1
\mvdash{}  (arrow(B)  A2  A@0  (cat-comp(op-cat(C))  A2  A1  A@0  g  f)  (m  A2  z1))  =  (m  A@0  p1)


By

---

Latex:
(D  4
  THEN  RepUR  ``type-cat``  5
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}A2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A@0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cat-comp(op-cat(C))  A2  A1  A@0  g  f\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index