---

Step * 1 of Lemma sp-meet_wf


1. f : Base
2. f1 : Base
3. f = f1 ∈ (f,g:ℕ ⟶ 𝔹//(f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹) ⇐⇒ g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)))
4. f ∈ ℕ ⟶ 𝔹
5. f1 ∈ ℕ ⟶ 𝔹
6. (f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇒ (f1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))
7. (f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇐ f1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
8. g : Base
9. g1 : Base
10. g = g1 ∈ (f,g:ℕ ⟶ 𝔹//(f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹) ⇐⇒ g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)))
11. g ∈ ℕ ⟶ 𝔹
12. g1 ∈ ℕ ⟶ 𝔹
13. (g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇒ (g1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))
14. (g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇐ g1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
15. ∀n:ℕ. (¬↑let x,y = coded-pair(n) in (f x) ∧b (g y))
16. i : ℕ
17. j : ℕ
18. ↑((f1 i) ∧b (g1 j))
⊢ False
BY
{ (Assert (¬(g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))) ∧ (¬(f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))) BY
         (D 0
          THEN (D 0 THENA Auto)
          THEN ThinTrivial
          THEN (RWO "equal-Sierpinski-bottom" (-1) THENA Auto)
          THEN Try ((InstHyp [⌜j⌝] (-1)⋅ THEN Complete (Auto)))
          THEN Try ((InstHyp [⌜i⌝] (-1)⋅ THEN Complete (Auto))))) }

1
1. f : Base
2. f1 : Base
3. f = f1 ∈ (f,g:ℕ ⟶ 𝔹//(f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹) ⇐⇒ g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)))
4. f ∈ ℕ ⟶ 𝔹
5. f1 ∈ ℕ ⟶ 𝔹
6. (f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇒ (f1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))
7. (f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇐ f1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
8. g : Base
9. g1 : Base
10. g = g1 ∈ (f,g:ℕ ⟶ 𝔹//(f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹) ⇐⇒ g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)))
11. g ∈ ℕ ⟶ 𝔹
12. g1 ∈ ℕ ⟶ 𝔹
13. (g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇒ (g1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))
14. (g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)) ⇐ g1 = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)
15. ∀n:ℕ. (¬↑let x,y = coded-pair(n) in (f x) ∧b (g y))
16. i : ℕ
17. j : ℕ
18. ↑((f1 i) ∧b (g1 j))
19. (¬(g = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹))) ∧ (¬(f = ⊥ ∈ (ℕ ⟶ 𝔹)))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  Base
2.  f1  :  Base
3.  f  =  f1
4.  f  \mmember{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  f1  \mmember{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  (f  =  \mbot{})  {}\mRightarrow{}  (f1  =  \mbot{})
7.  (f  =  \mbot{})  \mLeftarrow{}{}  f1  =  \mbot{}
8.  g  :  Base
9.  g1  :  Base
10.  g  =  g1
11.  g  \mmember{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  g1  \mmember{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
13.  (g  =  \mbot{})  {}\mRightarrow{}  (g1  =  \mbot{})
14.  (g  =  \mbot{})  \mLeftarrow{}{}  g1  =  \mbot{}
15.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}\muparrow{}let  x,y  =  coded-pair(n)  in  (f  x)  \mwedge{}\msubb{}  (g  y))
16.  i  :  \mBbbN{}
17.  j  :  \mBbbN{}
18.  \muparrow{}((f1  i)  \mwedge{}\msubb{}  (g1  j))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(Assert  (\mneg{}(g  =  \mbot{}))  \mwedge{}  (\mneg{}(f  =  \mbot{}))  BY
              (D  0
                THEN  (D  0  THENA  Auto)
                THEN  ThinTrivial
                THEN  (RWO  "equal-Sierpinski-bottom"  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  Try  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))
                THEN  Try  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))))

---

Home Index