---

Step * 1 1 4 of Lemma div_2_to_1


1. a : ℤ
2. a ≤ 0
3. b : ℤ
4. 0 < b
5. 0 ≤ ((-1) * a)
6. (0 rem b) = 0 ∈ ℤ
7. (-a) = ((((-a) ÷ b) * b) + (-a rem b)) ∈ ℤ
8. 0 ≤ (-a rem b)
9. -a rem b < b
⊢ -(-a rem b) < 0 ⇒ a < 0
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (Add ⌜-a rem b⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (RW  IntNormC  (-1) THENA Auto)
   THEN (FLemma `rem-sign` [-1] THENA Auto)
   THEN Add ⌜a⌝ (-1)⋅
   THEN RW IntNormC (-1)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbZ{}
2.  a  \mleq{}  0
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  b
5.  0  \mleq{}  ((-1)  *  a)
6.  (0  rem  b)  =  0
7.  (-a)  =  ((((-a)  \mdiv{}  b)  *  b)  +  (-a  rem  b))
8.  0  \mleq{}  (-a  rem  b)
9.  -a  rem  b  <  b
\mvdash{}  -(-a  rem  b)  <  0  {}\mRightarrow{}  a  <  0


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (Add  \mkleeneopen{}-a  rem  b\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RW    IntNormC    (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (FLemma  `rem-sign`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  Add  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
  THEN  RW  IntNormC  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index