---

Step * 1 1 of Lemma div_2_to_1


1. a : ℤ
2. a ≤ 0
3. b : ℤ
4. 0 < b
5. 0 ≤ ((-1) * a)
6. (0 rem b) = 0 ∈ ℤ
7. (-a) = ((((-a) ÷ b) * b) + (-a rem b)) ∈ ℤ
8. (0 ≤ (-a rem b)) ∧ -a rem b < b
⊢ |-(-a rem b)| < |b|
∧ (a = (((-((-a) ÷ b)) * b) + (-(-a rem b))) ∈ ℤ)
∧ ((0 ≤ a) ⇒ (0 ≤ (-(-a rem b))))
∧ (0 < -(-a rem b) ⇒ 0 < a)
∧ (-(-a rem b) < 0 ⇒ a < 0)
BY
{ (ExRepD THEN SplitAndConcl THEN Try (Complete (Auto))) }

1
1. a : ℤ
2. a ≤ 0
3. b : ℤ
4. 0 < b
5. 0 ≤ ((-1) * a)
6. (0 rem b) = 0 ∈ ℤ
7. (-a) = ((((-a) ÷ b) * b) + (-a rem b)) ∈ ℤ
8. 0 ≤ (-a rem b)
9. -a rem b < b
⊢ a = (((-((-a) ÷ b)) * b) + (-(-a rem b))) ∈ ℤ

2
1. a : ℤ
2. a ≤ 0
3. b : ℤ
4. 0 < b
5. 0 ≤ ((-1) * a)
6. (0 rem b) = 0 ∈ ℤ
7. (-a) = ((((-a) ÷ b) * b) + (-a rem b)) ∈ ℤ
8. 0 ≤ (-a rem b)
9. -a rem b < b
⊢ (0 ≤ a) ⇒ (0 ≤ (-(-a rem b)))

3
1. a : ℤ
2. a ≤ 0
3. b : ℤ
4. 0 < b
5. 0 ≤ ((-1) * a)
6. (0 rem b) = 0 ∈ ℤ
7. (-a) = ((((-a) ÷ b) * b) + (-a rem b)) ∈ ℤ
8. 0 ≤ (-a rem b)
9. -a rem b < b
⊢ 0 < -(-a rem b) ⇒ 0 < a

4
1. a : ℤ
2. a ≤ 0
3. b : ℤ
4. 0 < b
5. 0 ≤ ((-1) * a)
6. (0 rem b) = 0 ∈ ℤ
7. (-a) = ((((-a) ÷ b) * b) + (-a rem b)) ∈ ℤ
8. 0 ≤ (-a rem b)
9. -a rem b < b
⊢ -(-a rem b) < 0 ⇒ a < 0

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbZ{}
2.  a  \mleq{}  0
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  b
5.  0  \mleq{}  ((-1)  *  a)
6.  (0  rem  b)  =  0
7.  (-a)  =  ((((-a)  \mdiv{}  b)  *  b)  +  (-a  rem  b))
8.  (0  \mleq{}  (-a  rem  b))  \mwedge{}  -a  rem  b  <  b
\mvdash{}  |-(-a  rem  b)|  <  |b|
\mwedge{}  (a  =  (((-((-a)  \mdiv{}  b))  *  b)  +  (-(-a  rem  b))))
\mwedge{}  ((0  \mleq{}  a)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (-(-a  rem  b))))
\mwedge{}  (0  <  -(-a  rem  b)  {}\mRightarrow{}  0  <  a)
\mwedge{}  (-(-a  rem  b)  <  0  {}\mRightarrow{}  a  <  0)


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  SplitAndConcl  THEN  Try  (Complete  (Auto)))

---

Home Index