---

Step * 2 1 2 2 1 2 1 of Lemma div_unique3

.....assertion..... 
1. a : ℤ
2. n : ℤ-o
3. p : ℤ
4. r : ℤ
5. |r| < |n| ∧ (a = ((p * n) + r) ∈ ℤ) ∧ ((0 ≤ a) ⇒ (0 ≤ r)) ∧ (0 < r ⇒ 0 < a) ∧ (r < 0 ⇒ a < 0)
6. a = (((a ÷ n) * n) + (a rem n)) ∈ ℤ
7. |a rem n| < |n|
8. ((p - a ÷ n) * n) = ((a rem n) - r) ∈ ℤ
9. |(a rem n) - r| < |n|
10. |(p - a ÷ n) * n| = |(a rem n) - r| ∈ ℤ
11. (|p - a ÷ n| * |n|) = |(a rem n) - r| ∈ ℤ
⊢ |p - a ÷ n| = 0 ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(SupposeNot THEN InstLemma `mul_preserves_le` [⌜1⌝;⌜|p - a ÷ n|⌝;⌜|n|⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. a : ℤ
2. n : ℤ-o
3. p : ℤ
4. r : ℤ
5. |r| < |n|
6. a = ((p * n) + r) ∈ ℤ
7. (0 ≤ a) ⇒ (0 ≤ r)
8. 0 < r ⇒ 0 < a
9. r < 0 ⇒ a < 0
10. a = (((a ÷ n) * n) + (a rem n)) ∈ ℤ
11. |a rem n| < |n|
12. ((p - a ÷ n) * n) = ((a rem n) - r) ∈ ℤ
13. |(a rem n) - r| < |n|
14. |(p - a ÷ n) * n| = |(a rem n) - r| ∈ ℤ
15. (|p - a ÷ n| * |n|) = |(a rem n) - r| ∈ ℤ
16. ¬(|p - a ÷ n| = 0 ∈ ℤ)
⊢ 1 ≤ |p - a ÷ n|

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
3.  p  :  \mBbbZ{}
4.  r  :  \mBbbZ{}
5.  |r|  <  |n|  \mwedge{}  (a  =  ((p  *  n)  +  r))  \mwedge{}  ((0  \mleq{}  a)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  r))  \mwedge{}  (0  <  r  {}\mRightarrow{}  0  <  a)  \mwedge{}  (r  <  0  {}\mRightarrow{}  a  <  0)
6.  a  =  (((a  \mdiv{}  n)  *  n)  +  (a  rem  n))
7.  |a  rem  n|  <  |n|
8.  ((p  -  a  \mdiv{}  n)  *  n)  =  ((a  rem  n)  -  r)
9.  |(a  rem  n)  -  r|  <  |n|
10.  |(p  -  a  \mdiv{}  n)  *  n|  =  |(a  rem  n)  -  r|
11.  (|p  -  a  \mdiv{}  n|  *  |n|)  =  |(a  rem  n)  -  r|
\mvdash{}  |p  -  a  \mdiv{}  n|  =  0


By

---

Latex:
TACTIC:(SupposeNot  THEN  InstLemma  `mul\_preserves\_le`  [\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|p  -  a  \mdiv{}  n|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|n|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index