---

Step * 1 1 of Lemma bar_recursion_wf1

.....assertion..... 
1. T : Type
2. R : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R[n;s])
5. b : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  (R[n;s] ⇒ A[n;s])
6. i : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. A[n + 1;seq-append(n;1;s;λi.t)]) ⇒ A[n;s])
7. ∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. R[m;alpha])
8. c : Top
⊢ (λn,s. bar_recursion(d;b;i;n;s)) 0 c ∈ A 0 c
BY
{ (All (Unfold `so_apply`)⋅
   THEN Bar_Induction ⌜T⌝ ⌜λk,u. (R k u)⌝⋅⋅
   THEN Reduce 0
   THEN Try (BackThruSomeHyp')
   THEN All Reduce
   THEN Auto)⋅ }

1
1. T : Type
2. R : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R n s)
5. b : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((R n s) ⇒ (A n s))
6. i : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. (A (n + 1) seq-append(n;1;s;λi.t))) ⇒ (A n s))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. (R m alpha))
8. c : Top
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ T
11. R n s
⊢ bar_recursion(d;
                b;
                i;
                n;s) ∈ A n s

2
1. T : Type
2. R : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R n s)
5. b : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((R n s) ⇒ (A n s))
6. i : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. (A (n + 1) seq-append(n;1;s;λi.t))) ⇒ (A n s))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. (R m alpha))
8. c : Top
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ T
11. ∀t:T. (bar_recursion(d;b;i;n + 1;λm.if m=n  then t  else (s m)) ∈ A (n + 1) (λm.if m=n  then t  else (s m)))
⊢ bar_recursion(d;
                b;
                i;
                n;s) ∈ A n s

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  T  :  Type
2.  R  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  A  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(R[n;s])
5.  b  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    (R[n;s]  {}\mRightarrow{}  A[n;s])
6.  i  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((\mforall{}t:T.  A[n  +  1;seq-append(n;1;s;\mlambda{}i.t)])  {}\mRightarrow{}  A[n;s])
7.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (\mdownarrow{}\mexists{}m:\mBbbN{}.  R[m;alpha])
8.  c  :  Top
\mvdash{}  (\mlambda{}n,s.  bar\_recursion(d;b;i;n;s))  0  c  \mmember{}  A  0  c


By

---

Latex:
(All  (Unfold  `so\_apply`)\mcdot{}
  THEN  Bar\_Induction  \mkleeneopen{}T\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}\mlambda{}k,u.  (R  k  u)\mkleeneclose{}\mcdot{}\mcdot{}
  THEN  Reduce  0
  THEN  Try  (BackThruSomeHyp')
  THEN  All  Reduce
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index