---

Step * 1 1 2 of Lemma bar_recursion_wf1


1. T : Type
2. R : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R n s)
5. b : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((R n s) ⇒ (A n s))
6. i : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. (A (n + 1) seq-append(n;1;s;λi.t))) ⇒ (A n s))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. (R m alpha))
8. c : Top
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ T
11. ∀t:T. (bar_recursion(d;b;i;n + 1;λm.if m=n  then t  else (s m)) ∈ A (n + 1) (λm.if m=n  then t  else (s m)))
⊢ bar_recursion(d;
                b;
                i;
                n;s) ∈ A n s
BY
{ (RecUnfold `bar_recursion` 0 THEN (GenConclTerm ⌜d n s⌝⋅ THENA Auto) THEN D -2 THEN Reduce 0) }

1
1. T : Type
2. R : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R n s)
5. b : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((R n s) ⇒ (A n s))
6. i : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. (A (n + 1) seq-append(n;1;s;λi.t))) ⇒ (A n s))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. (R m alpha))
8. c : Top
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ T
11. ∀t:T. (bar_recursion(d;b;i;n + 1;λm.if m=n  then t  else (s m)) ∈ A (n + 1) (λm.if m=n  then t  else (s m)))
12. x : R n s
13. (d n s) = (inl x) ∈ Dec(R n s)
⊢ b n s x ∈ A n s

2
1. T : Type
2. R : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. A : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R n s)
5. b : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((R n s) ⇒ (A n s))
6. i : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. (A (n + 1) seq-append(n;1;s;λi.t))) ⇒ (A n s))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. (R m alpha))
8. c : Top
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ T
11. ∀t:T. (bar_recursion(d;b;i;n + 1;λm.if m=n  then t  else (s m)) ∈ A (n + 1) (λm.if m=n  then t  else (s m)))
12. y : ¬(R n s)
13. (d n s) = (inr y ) ∈ Dec(R n s)
⊢ i n s (λt.bar_recursion(d;b;i;n + 1;λm.if m=n  then t  else (s m))) ∈ A n s

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  A  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(R  n  s)
5.  b  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((R  n  s)  {}\mRightarrow{}  (A  n  s))
6.  i  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((\mforall{}t:T.  (A  (n  +  1)  seq-append(n;1;s;\mlambda{}i.t)))  {}\mRightarrow{}  (A  n  s))
7.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (\mdownarrow{}\mexists{}m:\mBbbN{}.  (R  m  alpha))
8.  c  :  Top
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
11.  \mforall{}t:T.  (bar\_recursion(d;b;i;n  +  1;\mlambda{}m.if  m=n    then  t    else  (s  m))  \mmember{}  A  (n  +  1)  (\mlambda{}m.if  m=n    then  t    \000Celse  (s  m)))
\mvdash{}  bar\_recursion(d;
                                b;
                                i;
                                n;s)  \mmember{}  A  n  s


By

---

Latex:
(RecUnfold  `bar\_recursion`  0  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}d  n  s\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  D  -2  THEN  Reduce  0)

---

Home Index