---

Step * 4 of Lemma descending-chain-barred-implies-wellfounded


1. [T] : Type
2. [<] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [B] : T ⟶ T ⟶ ℙ
4. ∀x,y,z:T.  ((x < y) ⇒ (y < z) ⇒ (x < z))
5. ∀x,y:T.  Dec(x B y)
6. ∀x,y:T.  ((x B y) ⇒ (¬(x < y)))
7. ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃j:ℕ. ∃i:ℕj. ((f j) B (f i)))
8. [P] : T ⟶ ℙ
9. ∀j:T. ((∀k:T. ((k < j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
10. ∀x:Top. ∀m:ℕ. ∀s':ℕm ⟶ T.
      ((0 ≤ m) ⇒ (∀i:ℕ0. ((s' i) = (x i) ∈ T)) ⇒ (∀j:ℕm. ∀i:ℕj.  ((s' j) < (s' i))) ⇒ 0 < m ⇒ P[s' (m - 1)])
⊢ {∀n:T. P[n]}
BY
{ ((D 0 THEN Auto) THEN InstHyp [⌜⋅⌝;⌜1⌝;⌜λi.n⌝] (-2)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [<]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [B]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}x,y,z:T.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  (y  <  z)  {}\mRightarrow{}  (x  <  z))
5.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  B  y)
6.  \mforall{}x,y:T.    ((x  B  y)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(x  <  y)))
7.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (\mdownarrow{}\mexists{}j:\mBbbN{}.  \mexists{}i:\mBbbN{}j.  ((f  j)  B  (f  i)))
8.  [P]  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
9.  \mforall{}j:T.  ((\mforall{}k:T.  ((k  <  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j])
10.  \mforall{}x:Top.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}s':\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T.
            ((0  \mleq{}  m)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}0.  ((s'  i)  =  (x  i)))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}m.  \mforall{}i:\mBbbN{}j.    ((s'  j)  <  (s'  i)))
            {}\mRightarrow{}  0  <  m
            {}\mRightarrow{}  P[s'  (m  -  1)])
\mvdash{}  \{\mforall{}n:T.  P[n]\}


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}\mcdot{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}i.n\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index