---

Step * 3 of Lemma simple_more_general_fan_theorem


1. [T] : ℕ ⟶ Type
2. [%] : ∀i:ℕ. T[i]
3. ∀i:ℕ. ∀K:T[i] ⟶ ℕ.  (∃B:ℕ [(∀t:T[i]. ((K t) ≤ B))])
4. [X] : n:ℕ ⟶ (i:ℕn ⟶ T[i]) ⟶ ℙ
5. ∀f:i:ℕ ⟶ T[i]. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
6. ∀n:ℕ. ∀s:i:ℕn ⟶ T[i].  Dec(X[n;s])
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ (i:ℕ × T[i])
9. ∀t:i:ℕ × T[i]
     ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
              ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++t;f))] 
              supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))] 
     supposing ∀i:ℕn + 1. ((fst((s++t i))) = i ∈ ℤ)
10. ∀i:ℕn. ((fst((s i))) = i ∈ ℤ)
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
           ∃m:ℕk. X[n + m;project-seq(seq-append(n;m;s;f))] supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n) ∈ ℤ))]
BY
{ (Assert ∀t:T[n]
            (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i]). ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++<n, t>;f))] supposing ∀\000Ci:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))]) BY
         ((D 0 THENA Auto)
          THEN (BHyp -3 THEN Auto)
          THEN ((Decide ⌜i < n⌝⋅ THENA Auto) THENL [Id; (Subst' i ~ n 0 THENA Auto)])
          THEN RepUR ``seq-adjoin seq-append`` 0
          THEN OReduce 0
          THEN Auto)) }

1
1. [T] : ℕ ⟶ Type
2. [%] : ∀i:ℕ. T[i]
3. ∀i:ℕ. ∀K:T[i] ⟶ ℕ.  (∃B:ℕ [(∀t:T[i]. ((K t) ≤ B))])
4. [X] : n:ℕ ⟶ (i:ℕn ⟶ T[i]) ⟶ ℙ
5. ∀f:i:ℕ ⟶ T[i]. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
6. ∀n:ℕ. ∀s:i:ℕn ⟶ T[i].  Dec(X[n;s])
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ (i:ℕ × T[i])
9. ∀t:i:ℕ × T[i]
     ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
              ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++t;f))] 
              supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))] 
     supposing ∀i:ℕn + 1. ((fst((s++t i))) = i ∈ ℤ)
10. ∀i:ℕn. ((fst((s i))) = i ∈ ℤ)
11. ∀t:T[n]. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i]). ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++<n, t>;f))] supposing \000C∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
           ∃m:ℕk. X[n + m;project-seq(seq-append(n;m;s;f))] supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n) ∈ ℤ))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Type
2.  [\%]  :  \mforall{}i:\mBbbN{}.  T[i]
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  \mforall{}K:T[i]  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (\mexists{}B:\mBbbN{}  [(\mforall{}t:T[i].  ((K  t)  \mleq{}  B))])
4.  [X]  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T[i])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  \mforall{}f:i:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T[i].  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:i:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T[i].    Dec(X[n;s])
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
9.  \mforall{}t:i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i]
          \mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
                            \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;project-seq(seq-append(n  +  1;m;s++t;f))] 
                            supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((fst((f  i)))  =  (i  +  n  +  1)))] 
          supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  ((fst((s++t  i)))  =  i)
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((fst((s  i)))  =  i)
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
                      \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[n  +  m;project-seq(seq-append(n;m;s;f))] 
                      supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((fst((f  i)))  =  (i  +  n)))]


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}t:T[n]
                    (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
                                        \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;project-seq(seq-append(n  +  1;m;s++<n,  t>f))]  supposing  \mforall{}i:\000C\mBbbN{}.  ((fst((f  i)))  =  (i  +  n  +  1)))])  BY
              ((D  0  THENA  Auto)
                THEN  (BHyp  -3  THEN  Auto)
                THEN  ((Decide  \mkleeneopen{}i  <  n\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THENL  [Id;  (Subst'  i  \msim{}  n  0  THENA  Auto)])
                THEN  RepUR  ``seq-adjoin  seq-append``  0
                THEN  OReduce  0
                THEN  Auto))

---

Home Index