---

Step * 3 1 of Lemma simple_more_general_fan_theorem


1. [T] : ℕ ⟶ Type
2. [%] : ∀i:ℕ. T[i]
3. ∀i:ℕ. ∀K:T[i] ⟶ ℕ.  (∃B:ℕ [(∀t:T[i]. ((K t) ≤ B))])
4. [X] : n:ℕ ⟶ (i:ℕn ⟶ T[i]) ⟶ ℙ
5. ∀f:i:ℕ ⟶ T[i]. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
6. ∀n:ℕ. ∀s:i:ℕn ⟶ T[i].  Dec(X[n;s])
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ (i:ℕ × T[i])
9. ∀t:i:ℕ × T[i]
     ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
              ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++t;f))] 
              supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))] 
     supposing ∀i:ℕn + 1. ((fst((s++t i))) = i ∈ ℤ)
10. ∀i:ℕn. ((fst((s i))) = i ∈ ℤ)
11. ∀t:T[n]. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i]). ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++<n, t>;f))] supposing \000C∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
           ∃m:ℕk. X[n + m;project-seq(seq-append(n;m;s;f))] supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n) ∈ ℤ))]
BY
{ (RenameVar `K' (-1)
   THEN (InstHyp [⌜n⌝;⌜K⌝] 3⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (D 0 With ⌜B + 1⌝ 
         THENW (Auto THEN RepUR ``seq-append`` 0 THEN RepeatFor 2 (AutoSplit) THEN RWO "-5" 0 THEN Auto)
         )
   THEN Auto) }

1
1. T : ℕ ⟶ Type
2. ∀i:ℕ. T[i]
3. ∀i:ℕ. ∀K:T[i] ⟶ ℕ.  (∃B:ℕ [(∀t:T[i]. ((K t) ≤ B))])
4. X : n:ℕ ⟶ (i:ℕn ⟶ T[i]) ⟶ ℙ
5. ∀f:i:ℕ ⟶ T[i]. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
6. ∀n:ℕ. ∀s:i:ℕn ⟶ T[i].  Dec(X[n;s])
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ (i:ℕ × T[i])
9. ∀t:i:ℕ × T[i]
     ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
              ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++t;f))] 
              supposing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))] 
     supposing ∀i:ℕn + 1. ((fst((s++t i))) = i ∈ ℤ)
10. ∀i:ℕn. ((fst((s i))) = i ∈ ℤ)
11. K : ∀t:T[n]. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i]). ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;project-seq(seq-append(n + 1;m;s++<n, t>;f))] suppos\000Cing ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n + 1) ∈ ℤ))])
12. B : ℕ
13. ∀t:T[n]. ((K t) ≤ B)
14. f : ℕ ⟶ (i:ℕ × T[i])
15. ∀i:ℕ. ((fst((f i))) = (i + n) ∈ ℤ)
⊢ ∃m:ℕB + 1. X[n + m;project-seq(seq-append(n;m;s;f))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Type
2.  [\%]  :  \mforall{}i:\mBbbN{}.  T[i]
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  \mforall{}K:T[i]  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (\mexists{}B:\mBbbN{}  [(\mforall{}t:T[i].  ((K  t)  \mleq{}  B))])
4.  [X]  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T[i])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  \mforall{}f:i:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T[i].  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:i:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T[i].    Dec(X[n;s])
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
9.  \mforall{}t:i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i]
          \mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
                            \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;project-seq(seq-append(n  +  1;m;s++t;f))] 
                            supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((fst((f  i)))  =  (i  +  n  +  1)))] 
          supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  ((fst((s++t  i)))  =  i)
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((fst((s  i)))  =  i)
11.  \mforall{}t:T[n]
            (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
                                \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;project-seq(seq-append(n  +  1;m;s++<n,  t>f))]  supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (\000C(fst((f  i)))  =  (i  +  n  +  1)))])
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (i:\mBbbN{}  \mtimes{}  T[i])
                      \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[n  +  m;project-seq(seq-append(n;m;s;f))] 
                      supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((fst((f  i)))  =  (i  +  n)))]


By

---

Latex:
(RenameVar  `K'  (-1)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}B  +  1\mkleeneclose{} 
              THENW  (Auto
                            THEN  RepUR  ``seq-append``  0
                            THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit)
                            THEN  RWO  "-5"  0
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  Auto)

---

Home Index