---

Step * of Lemma simple_fan_theorem'

∀[X:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ]
  (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])) ⇒ (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. X[n;f])]) supposing ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
BY
{ (Auto
   THEN InstLemma `basic_bar_induction` [⌜𝔹⌝;⌜X⌝;⌜λ2n s.∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]⌝]⋅
   THEN Reduce (-1)
   THEN Auto) }

1
1. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. X[n;s]
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]

2
1. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]

3
1. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. ∀x:Top. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[0 + m;seq-append(0;m;x;f)])])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. X[n;f])]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
    (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    Dec(X[n;s]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  X[n;f])]) 
    supposing  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  InstLemma  `basic\_bar\_induction`  [\mkleeneopen{}\mBbbB{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n  s.\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
                                                                                                                              \mexists{}m:\mBbbN{}k
                                                                                                                                X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)])]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index