---

Step * 2 1 1 of Lemma simple_fan_theorem


1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. a : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕa. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. b : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕb. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
12. m : ℕa
13. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;λn.(f (n + 1)))]
14. m1 : ℕb
15. X[(n + 1) + m1;seq-append(n + 1;m1;s++ff;λn.(f (n + 1)))]
16. ↑(f 0)
⊢ ∃m:ℕ1 + if (a) < (b)  then b  else a. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)]
BY
{ (With ⌜m + 1⌝ (D 0)⋅ THEN Auto)⋅ }

1
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. a : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕa. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. b : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕb. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
12. m : ℕa
13. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;λn.(f (n + 1)))]
14. m1 : ℕb
15. X[(n + 1) + m1;seq-append(n + 1;m1;s++ff;λn.(f (n + 1)))]
16. ↑(f 0)
⊢ X[n + m + 1;seq-append(n;m + 1;s;f)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    Dec(X[n;s])
4.  n  :  \mBbbN{}@i
5.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
6.  \mforall{}t:\mBbbB{}.  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++t;f)])])
7.  a  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}a.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++tt;f)]
9.  b  :  \mBbbN{}
10.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}b.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++ff;f)]
11.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
12.  m  :  \mBbbN{}a
13.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++tt;\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))]
14.  m1  :  \mBbbN{}b
15.  X[(n  +  1)  +  m1;seq-append(n  +  1;m1;s++ff;\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))]
16.  \muparrow{}(f  0)
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbN{}1  +  if  (a)  <  (b)    then  b    else  a.  X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)]


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}m  +  1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index