---

Step * 2 1 of Lemma pcw-path-coPath_wf


1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. (copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a]))
10. StepRel(p (n - 1);p n)
⊢ (pcw-path-coPath(n;p) ∈ copath(a.B[a];w))
∧ ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p)) = n ∈ ℤ)
  ⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])))
BY
{ (Unfold `pcw-path-coPath` 0
   THEN (SplitOnConclITE THENA Auto)
   THEN Try ((Assert ⌜False⌝⋅ THEN Complete (Auto)))
   THEN MoveToConcl (-2)
   THEN RepUR ``let`` 0
   THEN (SplitOnConclITE THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜p (n - 1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 3 (D -2)
   THEN Reduce 0
   THEN Try ((RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto)) THEN QuickAuto))) }

1
1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. (copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a]))
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ
12. p1 : Unit
13. w1 : pco-W p1
14. x : B[fst(w1)]
15. (p (n - 1)) = <p1, w1, inl x> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
⊢ StepRel(<p1, w1, inl x>;p n)
⇒ ((copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x) ∈ copath(a.B[a];w))
   ∧ ((copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = n ∈ ℤ)
     ⇒ (copath-at(w;copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a]))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  p  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.\mcdot{})
5.  StepAgree(p  0;\mcdot{};w)
6.  n  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  n
8.  pcw-path-coPath(n  -  1;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w)
9.  (copath-length(pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (n  -  1))
{}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (fst(snd((p  (n  -  1))))))
10.  StepRel(p  (n  -  1);p  n)
\mvdash{}  (pcw-path-coPath(n;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w))
\mwedge{}  ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p))  =  n)
    {}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p))  =  (fst(snd((p  n))))))


By

---

Latex:
(Unfold  `pcw-path-coPath`  0
  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto)
  THEN  Try  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))
  THEN  MoveToConcl  (-2)
  THEN  RepUR  ``let``  0
  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}p  (n  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  3  (D  -2)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Try  ((RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))  THEN  QuickAuto)))

---

Home Index