---

Step * 1 1 of Lemma win2-iff


1. g : SimpleGame
2. s : ∀[n:ℕ]. win2strat(g;n)
3. p : {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
4. s ∈ win2strat(g;1 - 1)
5. s ∈ moves:{f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g)| Legal2(moves[1];p)} 
6. seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ} 
7. s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
8. [n] : ℕ
⊢ win2strat(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n)
BY
{ (UseWitness⌜λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs)))⌝⋅
   THEN NatInd (-1)
   THEN Unfold `win2strat` 0
   THEN (SplitOnConclITE THENA Auto)
   THEN Try (Trivial)
   THEN Try ((D -1 THEN Fold `member` 0 THEN Auto))
   THEN DepIsectCD
   THEN Try (Trivial)
   THEN (MemCD THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. g : SimpleGame
2. s : ∀[n:ℕ]. win2strat(g;n)
3. p : {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
4. s ∈ win2strat(g;1 - 1)
5. s ∈ moves:{f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g)| Legal2(moves[1];p)} 
6. seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ} 
7. s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))) ∈ win2strat(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
    - 1)
11. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
12. mvs : strat2play(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
- 1;λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))))
13. ||mvs|| = (2 * n) ∈ ℤ
⊢ s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs)) ∈ {p@0:Pos(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())))| 
                                               Legal2(mvs[(2 * n) - 1];p@0)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  SimpleGame
2.  s  :  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  win2strat(g;n)
3.  p  :  \{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\} 
4.  s  \mmember{}  win2strat(g;1  -  1)
5.  s  \mmember{}  moves:\{f:strat2play(g;0;s)|  ||f||  =  2\}    {}\mrightarrow{}  \{p:Pos(g)|  Legal2(moves[1];p)\} 
6.  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()))  \mmember{}  \{f:strat2play(g;0;s)|  ||f||  =  2\} 
7.  s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()))  \mmember{}  \{q:Pos(g)|  Legal2(p;q)\} 
8.  [n]  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  win2strat(g@s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n)


By

---

Latex:
(UseWitness\mkleeneopen{}\mlambda{}mvs.(s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  NatInd  (-1)
  THEN  Unfold  `win2strat`  0
  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto)
  THEN  Try  (Trivial)
  THEN  Try  ((D  -1  THEN  Fold  `member`  0  THEN  Auto))
  THEN  DepIsectCD
  THEN  Try  (Trivial)
  THEN  (MemCD  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index