---

Step * 1 of Lemma Wcmp_transitivity


1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. a : A@i
4. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])@i
5. ∀b:B[a]. ∀w2,w3:W(A;a.B[a]).
     (((((f b) <  w2) ⇒ (w2 ≤  w3) ⇒ ((f b) <  w3)) ∧ (((f b) ≤  w2) ⇒ (w2 <  w3) ⇒ ((f b) <  w3)))
     ∧ (((f b) ≤  w2) ⇒ (w2 ≤  w3) ⇒ ((f b) ≤  w3)))@i
6. a@0 : A@i
7. f@0 : B[a@0] ⟶ W(A;a.B[a])@i
8. ∀b:B[a@0]. ∀w3:W(A;a.B[a]).
     ((((Wsup(a;f) <  (f@0 b)) ⇒ ((f@0 b) ≤  w3) ⇒ (Wsup(a;f) <  w3))
     ∧ ((Wsup(a;f) ≤  (f@0 b)) ⇒ ((f@0 b) <  w3) ⇒ (Wsup(a;f) <  w3)))
     ∧ ((Wsup(a;f) ≤  (f@0 b)) ⇒ ((f@0 b) ≤  w3) ⇒ (Wsup(a;f) ≤  w3)))@i
9. a@1 : A@i
10. f@1 : B[a@1] ⟶ W(A;a.B[a])@i
11. ∀b:B[a@1]
      ((((Wsup(a;f) <  Wsup(a@0;f@0)) ⇒ (Wsup(a@0;f@0) ≤  (f@1 b)) ⇒ (Wsup(a;f) <  (f@1 b)))
      ∧ ((Wsup(a;f) ≤  Wsup(a@0;f@0)) ⇒ (Wsup(a@0;f@0) <  (f@1 b)) ⇒ (Wsup(a;f) <  (f@1 b))))
      ∧ ((Wsup(a;f) ≤  Wsup(a@0;f@0)) ⇒ (Wsup(a@0;f@0) ≤  (f@1 b)) ⇒ (Wsup(a;f) ≤  (f@1 b))))@i
12. Wsup(a;f) <  Wsup(a@0;f@0)@i
13. Wsup(a@0;f@0) ≤  Wsup(a@1;f@1)@i
⊢ Wsup(a;f) <  Wsup(a@1;f@1)
BY
{ (ReduceWcmp (-2) THEN D -2 THEN ReduceWcmp (-1) THEN (InstHyp [⌜x⌝;⌜Wsup(a@1;f@1)⌝;⌜tt⌝] (8)⋅ THEN Auto)⋅) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  a  :  A@i
4.  f  :  B[a]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])@i
5.  \mforall{}b:B[a].  \mforall{}w2,w3:W(A;a.B[a]).
          (((((f  b)  <    w2)  {}\mRightarrow{}  (w2  \mleq{}    w3)  {}\mRightarrow{}  ((f  b)  <    w3))
          \mwedge{}  (((f  b)  \mleq{}    w2)  {}\mRightarrow{}  (w2  <    w3)  {}\mRightarrow{}  ((f  b)  <    w3)))
          \mwedge{}  (((f  b)  \mleq{}    w2)  {}\mRightarrow{}  (w2  \mleq{}    w3)  {}\mRightarrow{}  ((f  b)  \mleq{}    w3)))@i
6.  a@0  :  A@i
7.  f@0  :  B[a@0]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])@i
8.  \mforall{}b:B[a@0].  \mforall{}w3:W(A;a.B[a]).
          ((((Wsup(a;f)  <    (f@0  b))  {}\mRightarrow{}  ((f@0  b)  \mleq{}    w3)  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a;f)  <    w3))
          \mwedge{}  ((Wsup(a;f)  \mleq{}    (f@0  b))  {}\mRightarrow{}  ((f@0  b)  <    w3)  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a;f)  <    w3)))
          \mwedge{}  ((Wsup(a;f)  \mleq{}    (f@0  b))  {}\mRightarrow{}  ((f@0  b)  \mleq{}    w3)  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a;f)  \mleq{}    w3)))@i
9.  a@1  :  A@i
10.  f@1  :  B[a@1]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])@i
11.  \mforall{}b:B[a@1]
            ((((Wsup(a;f)  <    Wsup(a@0;f@0))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a@0;f@0)  \mleq{}    (f@1  b))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a;f)  <    (f@1  b)))
            \mwedge{}  ((Wsup(a;f)  \mleq{}    Wsup(a@0;f@0))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a@0;f@0)  <    (f@1  b))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a;f)  <    (f@1  b))))
            \mwedge{}  ((Wsup(a;f)  \mleq{}    Wsup(a@0;f@0))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a@0;f@0)  \mleq{}    (f@1  b))  {}\mRightarrow{}  (Wsup(a;f)  \mleq{}    (f@1  b))))@i
12.  Wsup(a;f)  <    Wsup(a@0;f@0)@i
13.  Wsup(a@0;f@0)  \mleq{}    Wsup(a@1;f@1)@i
\mvdash{}  Wsup(a;f)  <    Wsup(a@1;f@1)


By

---

Latex:
(ReduceWcmp  (-2)
  THEN  D  -2
  THEN  ReduceWcmp  (-1)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Wsup(a@1;f@1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}tt\mkleeneclose{}]  (8)\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{})

---

Home Index