---

Step * 2 of Lemma Wleq-Wadd2


1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. zero : A ⟶ 𝔹
4. ∀a:A. (¬↑(zero a) ⇐⇒ B[a])
5. a : A
6. ¬↑(zero a)
7. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])
8. ∀b:B[a]. ∀w2,w1:W(A;a.B[a]).  ((w2 ≤  (f b)) ⇒ ((w1 + w2) ≤  (w1 + f b)))
9. a@0 : A
10. f@0 : B[a@0] ⟶ W(A;a.B[a])
11. ∀b:B[a@0]. ∀w1:W(A;a.B[a]).  (((f@0 b) ≤  Wsup(a;f)) ⇒ ((w1 + f@0 b) ≤  (w1 + Wsup(a;f))))
12. ↑(zero a@0)
⊢ ∀w1:W(A;a.B[a]). ((Wsup(a@0;f@0) ≤  Wsup(a;f)) ⇒ (w1 ≤  Wsup(a;λx.(w1 + f x))))
BY
{ (Auto THEN (InstLemma `Wleq-Wadd3` [⌜A⌝;⌜B⌝;⌜zero⌝;⌜w1⌝;⌜Wsup(a;f)⌝]⋅ THENA Auto)) }

1
1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. zero : A ⟶ 𝔹
4. ∀a:A. (¬↑(zero a) ⇐⇒ B[a])
5. a : A
6. ¬↑(zero a)
7. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])
8. ∀b:B[a]. ∀w2,w1:W(A;a.B[a]).  ((w2 ≤  (f b)) ⇒ ((w1 + w2) ≤  (w1 + f b)))
9. a@0 : A
10. f@0 : B[a@0] ⟶ W(A;a.B[a])
11. ∀b:B[a@0]. ∀w1:W(A;a.B[a]).  (((f@0 b) ≤  Wsup(a;f)) ⇒ ((w1 + f@0 b) ≤  (w1 + Wsup(a;f))))
12. ↑(zero a@0)
13. w1 : W(A;a.B[a])
14. Wsup(a@0;f@0) ≤  Wsup(a;f)
15. w1 ≤  (w1 + Wsup(a;f))
⊢ w1 ≤  Wsup(a;λx.(w1 + f x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  zero  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}a:A.  (\mneg{}\muparrow{}(zero  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  B[a])
5.  a  :  A
6.  \mneg{}\muparrow{}(zero  a)
7.  f  :  B[a]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])
8.  \mforall{}b:B[a].  \mforall{}w2,w1:W(A;a.B[a]).    ((w2  \mleq{}    (f  b))  {}\mRightarrow{}  ((w1  +  w2)  \mleq{}    (w1  +  f  b)))
9.  a@0  :  A
10.  f@0  :  B[a@0]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])
11.  \mforall{}b:B[a@0].  \mforall{}w1:W(A;a.B[a]).    (((f@0  b)  \mleq{}    Wsup(a;f))  {}\mRightarrow{}  ((w1  +  f@0  b)  \mleq{}    (w1  +  Wsup(a;f))))
12.  \muparrow{}(zero  a@0)
\mvdash{}  \mforall{}w1:W(A;a.B[a]).  ((Wsup(a@0;f@0)  \mleq{}    Wsup(a;f))  {}\mRightarrow{}  (w1  \mleq{}    Wsup(a;\mlambda{}x.(w1  +  f  x))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  (InstLemma  `Wleq-Wadd3`  [\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}zero\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}w1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Wsup(a;f)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index