---

Step * 1 1 1 of Lemma Wmul-Wadd


1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. zero : A ⟶ 𝔹
4. succ : A ⟶ 𝔹
5. ∀a:A. (((↑(succ a)) ⇒ (Unit ⊆r B[a])) ∧ ((↑(zero a)) ⇒ (¬B[a])))
6. a : A
7. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])
8. ∀b:B[a]. ∀w2,w1:W(A;a.B[a]).  ((w1 * (w2 + f b)) = ((w1 * w2) + (w1 * f b)) ∈ W(A;a.B[a]))
9. w2 : W(A;a.B[a])
10. w1 : W(A;a.B[a])
11. ↑(zero a)
12. ↑(zero a)
13. ↑(succ a)
⊢ (w1 * w2)
= let a,f = ((w1 * f ⋅) + w1) 
  in if zero a then (w1 * w2) else Wsup(a;λx.((w1 * w2) + f x)) fi 
∈ W(A;a.B[a])
BY
{ (RepeatFor 2 ((FHyp 5 [-2] THENA Auto)) THEN D -2 THEN UseWitness ⌜⋅⌝⋅ THEN DoSubsume THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  zero  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  succ  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}a:A.  (((\muparrow{}(succ  a))  {}\mRightarrow{}  (Unit  \msubseteq{}r  B[a]))  \mwedge{}  ((\muparrow{}(zero  a))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}B[a])))
6.  a  :  A
7.  f  :  B[a]  {}\mrightarrow{}  W(A;a.B[a])
8.  \mforall{}b:B[a].  \mforall{}w2,w1:W(A;a.B[a]).    ((w1  *  (w2  +  f  b))  =  ((w1  *  w2)  +  (w1  *  f  b)))
9.  w2  :  W(A;a.B[a])
10.  w1  :  W(A;a.B[a])
11.  \muparrow{}(zero  a)
12.  \muparrow{}(zero  a)
13.  \muparrow{}(succ  a)
\mvdash{}  (w1  *  w2)
=  let  a,f  =  ((w1  *  f  \mcdot{})  +  w1) 
    in  if  zero  a  then  (w1  *  w2)  else  Wsup(a;\mlambda{}x.((w1  *  w2)  +  f  x))  fi 


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((FHyp  5  [-2]  THENA  Auto))  THEN  D  -2  THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}\mcdot{}\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  DoSubsume  THEN  Auto)

---

Home Index